Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Matrice, determinante...

Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Postod DraganKese » Utorak, 12. Maj 2020, 10:41

Zdravo svima,
Imam problem u vezi sledeceg zadatka: U vektorskom prostoru [inlmath]\mathbb{R}^{2\times4}[/inlmath] ispitati linearnu zavisnost vektora:
[dispmath]X_1=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]X_2=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 & 0\\
3 & -1 & 1 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath][dispmath]X_3=\begin{bmatrix}
3 & 0 & 5 & 0\\
-3 & 5 & -1 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Naime, zbunjuje me to sto se trazi ispitivanje linearne zavisnosti vektora, medjutim, date su matrice. Da li je potrebno po jednu vrstu iz svake matrice ispitati medjusobno ili se mozda misli na ispitivanje svake matrice na neki nacin, mada iskreno nemam ideju kako bih ovo uradio?
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Postod ubavic » Utorak, 12. Maj 2020, 16:17

I matrice su vektori. To možeš lako da proveriš (seti se samo definicije vektorskog prostora).
Prostor matrica [inlmath]M_{2\times 4}[/inlmath] je u suštini isti kao prostor [inlmath]\mathbb{R}^8[/inlmath]. Matricu
[dispmath]X = \begin{bmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ \end{bmatrix},[/dispmath]
možeš shvatiti kao vektor
[dispmath]x = (a, b, c, d, e, f, g, h).[/dispmath]
Dalje ispituješ linearnu nezavisnost kako si to do sada radio.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 589
Zahvalio se: 375 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Postod DraganKese » Utorak, 12. Maj 2020, 18:30

Hvala puno na odgovoru. U sustini zadatak nije tezak samo je bilo potrebno ovo shvatiti. :D
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Postod DraganKese » Utorak, 12. Maj 2020, 19:05

Odradicu zadatak do kraja ako nekome nekad bude bilo potrebno.
[dispmath]\alpha_1\cdot X_1+\alpha_2\cdot X_2+\alpha_3\cdot X_3=0[/dispmath][dispmath]\alpha_1\cdot(1,0,3,0,0,2,0,0)+\alpha_2\cdot(-1,0,1,0,3,-1,1,0)+\alpha_3\cdot(3,0,5,0,-3,5,-1,0)=0[/dispmath][dispmath](\alpha_1,0,3\alpha_1,0,0,2\alpha_1,0,0)+(-\alpha_2,0,\alpha_2,0,3\alpha_2,-\alpha_2,\alpha_2,0)+(3\alpha_3,0,5\alpha_3,0,-3\alpha_3,5\alpha_3,-\alpha_3,0)=0[/dispmath] Odavde se dobija [inlmath]8[/inlmath] jednacina:
[dispmath]\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath][dispmath]3\alpha_1+\alpha_2+5\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath][dispmath]0+3\alpha_2-3\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]2\alpha_1-\alpha_2+5\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+\alpha_2-\alpha_3=0[/dispmath][dispmath]0+0+0=0[/dispmath] Odavde se moze izvuci nekoliko jednacina:
[dispmath]\alpha_2=\alpha_3[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2\alpha_3[/dispmath] Za [inlmath]p\in\mathbb{R},\;p\ne0[/inlmath] vektori su linearno zavisni:
[dispmath]\alpha_3=\alpha_2=p[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2p[/dispmath] Oblik linearne zavisnosti je: [inlmath]-2pX_1+pX_2+pX_3=0[/inlmath].
Za [inlmath]p=0[/inlmath], vektori su linearno nezavisni.

Bio bih zahvalan ako me ispravite, ukoliko ste uocili neku gresku. Takodje se izvinjavam zbog duplog posta, ali isteklo mi je vreme izmene poslednjeg posta. :)
 
Postovi: 17
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Ispitivanje linearne zavisnosti vektora

Postod Daniel » Sreda, 13. Maj 2020, 21:20

DraganKese je napisao:Za [inlmath]p\in\mathbb{R},\;p\ne0[/inlmath] vektori su linearno zavisni:
[dispmath]\alpha_3=\alpha_2=p[/dispmath][dispmath]\alpha_1=-2p[/dispmath] Oblik linearne zavisnosti je: [inlmath]-2pX_1+pX_2+pX_3=0[/inlmath].
Za [inlmath]p=0[/inlmath], vektori su linearno nezavisni.

Linearna (ne)zavisnost ovih vektora ne može zavisiti ni od kakvog parametra, budući da nikakav parametar ne figuriše u njihovim koordinatama. Znači, ovi vektori ili su linearno nezavisni, ili su linearno zavisni, a to je ono što se u zadatku ispituje.

Definicija linearne zavisnosti sasvim je jasna. Ako za jednačinu koju si postavio postoji rešenje po [inlmath]\alpha_1[/inlmath], [inlmath]\alpha_2[/inlmath] i [inlmath]\alpha_3[/inlmath], pri čemu ne važi [inlmath]\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0[/inlmath] (jer bi to onda bilo trivijalno rešenje) – vektori su linearno zavisni. U suprotnom, ako takvo rešenje ne postoji (tj. ako postoji samo trivijalno rešenje), vektori su linearno nezavisni.

Ispravnije bi bilo reći da se za [inlmath]p=0[/inlmath] dobija trivijalno rešenje po [inlmath]\alpha_1[/inlmath], [inlmath]\alpha_2[/inlmath] i [inlmath]\alpha_3[/inlmath], a za [inlmath]p\ne0[/inlmath] imamo netrivijalna rešenja, što znači da su vektori linearno zavisni.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 14:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs