Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Matrice, determinante...

Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod Frank » Utorak, 12. Maj 2020, 21:28

Prijemni ispit MATF – 26. jun 2019.
3. zadatak


Pozdrav! Zadatak glasi: Sistem jednačina
[dispmath]2x+ay=3\\
(a+2)x+4y=-3[/dispmath] ima beskonačno mnogo rešenja ako i samo ako za parametar [inlmath]a[/inlmath] važi? (koja vrednost/i) Rešenje: [inlmath]a=-4[/inlmath].
Prvi put se susrećem sa zadacima ovog tipa pa nisam upoznat sa načinom na koji se oni rade. Ovaj zadatak sam rešio logičkim razmišljanjem - kako sistem ima dve linearne jednačine, da bi sistem imao beskonačno mnogo rešenja neophodno je da su ova dva sistema ekvivalentna, u protivnom, postojala bi jedinstvena rešenja sistema. Ako su jednačine ekvivalentne to je isto kao da imamo jednu jednačinu sa dve nepoznate, pa će se njena rešenja medjusobno "dopunjavati" (beskonačno mnogo rešenja). Ako prvu jednačinu pomnožimo sa [inlmath]-1[/inlmath], a potom izjednačimo koeficijente uz iste članove, dobićemo traženo rešenje.
Da li postoji neki "originalniji" pristup zadatku? :) Hvala unapred! :D
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod miletrans » Utorak, 12. Maj 2020, 23:32

Drugi način na koji možeš da rešavaš ovakve zadatke bi bio Kramerova metoda, pa da tražiš pod kojim će uslovima rešenje po nekoj od nepoznatih biti oblika [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]. Mislim da ovo nije optimalna metoda kada imaš "samo" sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Već kod sistema "tri sa tri" može da se koristi. Čak je jedno vreme čest zadatak iz matematike na tehničkim fakultetima bio "u zavisnosti od realnog parametra [inlmath]a[/inlmath] (ili [inlmath]\lambda[/inlmath]) diskutovati rešenja sistema".

Tvoj metod je za ovakav sistem odličan. Treba samo da zapišeš razmišljanje matematičkim jezikom. Kada su dve jednačine zavisne? Kada postoji neko realno [inlmath]k[/inlmath] kojim ako pomnožimo jednu jednačinu dobijemo drugu. I onda izjednačavaš koeficijente uz svaku nepoznatu, baš kao što si rekao:
[dispmath]2k=a+2\\
ak=4[/dispmath] Dalje nije problem, ali kao što rekoh, za veći broj jednačina i nepoznatih bih preporučio Kramerovu metodu. Ne znam koliko si upućen u nju.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod Frank » Sreda, 13. Maj 2020, 08:09

Poznata mi je Kramerova teorema, ali ne znam kako bih je upotrebio kod ovakvih zadataka (pre svega ako sistem ima [inlmath]3[/inlmath] ili više linearnih jednačina). Ako su sve determinante jednake [inlmath]0[/inlmath] onda ne možemo ništa zaključiti, pa moramo ići Gausovom metodom eliminacije?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Sreda, 13. Maj 2020, 12:34

Frank je napisao:Ako su sve determinante jednake [inlmath]0[/inlmath] onda ne možemo ništa zaključiti,

Ne, ako bismo radili preko Kramera, nama bi upravo bio cilj da nađemo takvo [inlmath]a[/inlmath] za koje bi sve determinante bile nula (jer bismo onda dobili neodređen izraz, [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]).
Složio bih se s miletransom da je način koji si predložio u ovom slučaju najoptimalniji, a ne bih se složio da Kramer nije pogodan za ovakve [inlmath]2\times2[/inlmath] sisteme. Naprotiv, i pomoću Kramera bi (na prethodno opisan način, izjednačavanjem sve tri determinante s nulom) vrlo jednostavno i brzo došao do tražene vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath].

Frank je napisao:pa moramo ići Gausovom metodom eliminacije?

Može i preko Gausa. Ako prvu jednačinu pomnožiš sa [inlmath]4[/inlmath] a drugu sa [inlmath]a[/inlmath] (prethodno eliminisavši mogućnost da je traženo [inlmath]a[/inlmath] jednako nuli), oduzimanjem tako dobijenih jednačina dobio bi [inlmath]\left(a^2+2a-8\right)x=-3a-12[/inlmath]. Odatle je očigledno da ćemo imati beskonačno rešenja po [inlmath]x[/inlmath] akko je koeficijent uz [inlmath]x[/inlmath] jednak nuli i ako je desna strana jednaka nuli...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod Frank » Sreda, 13. Maj 2020, 12:58

Ne razumem zašto onda u zbirci piše da kada su sve determinate jednake [inlmath]0[/inlmath] Kramerova teorema ne daje nikakav odgovor, sistem može imati beskonačno rešenja ili nema rešenja?
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Sistem linearnih jednačina s parametrom – beskomačno rešenja – prijemni MATF 2019.

Postod Daniel » Sreda, 13. Maj 2020, 13:06

Zato što, ako je broj rešenja beskonačan, sledi da sve determinante sistema moraju biti nula. Ne sledi obrnuto. To je objašnjeno i u ovom postu. Ali, kad izjednačavanjem svih determinanti s nulom odrediš [inlmath]a[/inlmath] za koje je to ispunjeno (a što je potreban ali ne i dovoljan uslov da bi broj rešenja bio beskonačan), dovoljno je da tu vrednost [inlmath]a[/inlmath] vratiš u svaku od jednačina i vidiš hoćeš li zaista dobiti beskonačno mnogo rešenja.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 49 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs