Osnovni pojam koji se izučava u Linearnoj algebri je vektorski prostor. Formalna definicija vektorskog prostora u sebi sadrži pojmove grupe i polja, tako da se ti pojmovi moraju spomenuti na prvoj godini i ako se tada ne izučavaju detaljno. Intuitivno shvatanje definicije vektorskog prostora ne bi trebalo da predstavlja problem ako se zamisli jedan geometrijski prostor u kome su vektori sve usmerene strelice koje počinju u nekoj fiksiranoj tački [inlmath]O[/inlmath]...
Što se tiče prstena i polja, ova dva pojma se gotovo uvek uvode zajedno, pošto je svako polje ujedno i prsten u kom je svaki nenula element invertibilan (poseduje inverz). Oba ova pojma se detaljno izučavaju na kursu
Algebra 2 na trećoj godini. Pojmovi
prsten i
polje uglavnom se koriste u algebri i teoriji brojeva. Za prvu godinu, dovoljno je znati definicije ovih pojmova, kao i osnovne primere: [inlmath]\mathbb{Z}, n\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}[/inlmath], prsteni matrica, itd.. (ovde sam bio malo neprecizan i nisam napisao kako su operacije definisane, ali uvek kada je tako podrazumeva se standardno sabiranje i množenje). Za početak, na osnovu ovih primera treba graditi intuiciju o prstenima i poljima.
I da, priče o tome kao su nastali nazivi
prsten i
polje nisu mnogo zanimljive. Neke informacije možeš pronaći
ovde,
ovde ili
ovde. Ali, slažem se da su nazivi pomalo neobični za nekoga ko ih prvi put čuje :D
Grupe se takođe ne obrađuju mnogo na prvoj godini, već je za njih rezervisan kurs
Algebra 1. Međutim, za razliku od prstena i polja o kojima se uglavnom govori na algebarskim kursevima, grupe se mogu naći u skoro svim oblastima matematike, zato što se struktura grupe prirodno javlja kod opisivanja svih bijektivnih preslikavanja skupa u samog sebe (o tome sam pisao na početku
ovog posta). Ovaj fenomen se prenosi i na malo specifičnije slučajeve gde se zahteva da te bijekcije čuvaju nekakvu strukturu (pa tako skup svih bijekcija euklidskog prostora u samog sebe koje čuvaju rastojanje među tačkama, čini grupu
izometrija; skup svih bijekcija nekog vektorskog prostora u samog sebe koje su ujedno i linearna preslikavanja, čini grupu
linearnih izomorfizama, itd...). Zapravo, sve se svodi na to da se grupe javljaju kad god je potrebno opisati simetrije nekakvog objekta (šta god to značilo). Naravno, grupe su interesantne same po sebi, i proučavaju se i bez izučavanja drugih objekata...
U prvoj godini se takođe ne traži nešto mnogo više o grupama, osim definicija i osnovnih primera. Ali ne treba biti iznenađen kada se pojam grupe uveden na algebri počne redovno javljati na kursevima geometrije, topologije, kompleksne analize, diferencijalnih jednačina, itd...
Takođe, grupe su našle svoju primenu van matematike, u oblastima kao što su fizika, hemija i kriptografija.
Naravno, da bi u potpunosti shvatio šta sam hteo da kažem, biće potrebno malo iskustva u pomenutim oblastima. Nadam se da sam te barem malo motivisao za izučavanje ovih struktura.