Griezzmiha je napisao:Zanima me prvenstveno da li ja tretiram sam pojam (binarne operacije) na adekvatan nacin? Ja to posmatram kao operaciju koja se odnosi na dve vrednosti, brojeve ili bilo sta drugo unutar nekog proizvoljnog skupa..
Da, binarna operacija za određena
dva objekta (zato i jeste binarna) daje neki novi objekat, koji se naziva
rezultat operacije.
Npr. binarne operacije nad realnim brojevima su sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje...
Binarne operacije nad logičkim iskazima su konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija...
Binarne operacije nad skupovima su unija, presek, razlika skupova...
Dakle, od neka dva objekta (pri čemu je u opštem slučaju bitan njihov redosled, što znači uređeni par), pri čemu objekat može biti brojna vrednost, logički iskaz, skup... dobijamo novi objekat koji predstavlja rezultat binarne operacije.
Binarne operacije se mogu prikazati tabelarno, npr.:
- Operacija sabiranja po modulu [inlmath]3[/inlmath] nad skupom [inlmath]\{0,1,2\}[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|}
+ & 0 & 1 & 2\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2\\ \hline
1 & 1 & 2 & 0\\ \hline
2 & 2 & 0 & 1\\ \hline
\end{array}[/dispmath] - Operacija konjunkcije nad skupom [inlmath]\{\top,\bot\}[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|}
\land & \top & \bot\\ \hline
\top & \top & \bot\\ \hline
\bot & \bot & \bot\\ \hline
\end{array}[/dispmath]
Griezzmiha je napisao:Kako mozemo imati samo jednu binarnu operaciju, dve, tri i tako dalje...
Zavisi koliko ih definišemo nad nekim skupom. Nad skupom od [inlmath]n[/inlmath] elemenata možemo definisati najviše [inlmath]n^{n^2}[/inlmath] binarnih operacija. Zašto baš [inlmath]n^{n^2}[/inlmath] – pa, ako posmatramo tabelarni prikaz, za opisivanje svake od mogućih binarnih operacija nad skupom od [inlmath]n[/inlmath] elemenata, imamo tabelu [inlmath]n\times n[/inlmath], tj. tabelu koja ima [inlmath]n^2[/inlmath] polja. Svako od tih polja možemo popuniti nekim od [inlmath]n[/inlmath] članova skupa. Broj različitih binarnih operacija koje se mogu definisati nad tim skupom biće jednak broju različitih načina popunjavanja te tabele, a to je broj varijacija s ponavljanjem od [inlmath]n[/inlmath] elemenata klase [inlmath]n^2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\overline V_n^{n^2}=n^{n^2}[/inlmath] mogućih binarnih operacija.
Npr. nad skupom od samo dva elementa možemo definisati [inlmath]2^{2^2}=16[/inlmath] različitih binarnih operacija.
Nad skupom od tri elementa možemo definisati [inlmath]3^{3^2}=19683[/inlmath] različitih binarnih operacija.
Griezzmiha je napisao:Kako se cita ovo? [inlmath]\ast\;\colon\;S^2\longrightarrow S[/inlmath]
Operacija [inlmath]\ast[/inlmath] preslikava svaki član Dekartovog proizvoda [inlmath]S\times S[/inlmath] u odgovarajući član skupa [inlmath]S[/inlmath].
U gornjem primeru s operacijom konjunkcije: Dekartov proizvod skupa [inlmath]\{\top,\bot\}[/inlmath] ima četiri elementa: [inlmath]\{(\top,\top),(\top,\bot),(\bot,\top),(\bot,\bot)\}[/inlmath]. Pri tome, operacija konjunkcije preslikava element Dekartovog proizvoda [inlmath](\top,\top)[/inlmath] u [inlmath]\top[/inlmath], dok elemente Dekartovog proizvoda [inlmath](\top,\bot)[/inlmath], [inlmath](\bot,\top)[/inlmath] i [inlmath](\bot,\bot)[/inlmath] preslikava u [inlmath]\bot[/inlmath].
Griezzmiha je napisao:Ovo bi trebalo oznacavati preslikavanje, mada je navodno ovaj eksponent ono sto utice na to da li je operacija binarna... Pa znaci da moze biti i unarna...
Jeste, da je npr. pisalo [inlmath]\ast\;\colon\;S^3\to S[/inlmath], to bi označavalo ternarnu operaciju (primer bi bio [inlmath]\max(24,8,41)=41[/inlmath]). Da je pisalo [inlmath]\ast\;\colon\;S\to S[/inlmath], to bi bila unarna operacija. Primer unarne operacije je operacija negacije kod logičkih iskaza, ili operacija komplementa kod skupova, ili kvadratni koren nad skupom nenegativnih brojeva. Dakle, unarna operacija element nekog skupa preslikava u određeni element istog tog skupa.