Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Pojam minimuma i maksimuma

Matrice, determinante...

Pojam minimuma i maksimuma

Postod Griezzmiha » Subota, 24. Oktobar 2020, 12:40

Dobar dan, gospodo... Muci me ovaj zadatak iz linearne algebre, upravo zato sto ne znam sta [inlmath]\min\{a,b\}[/inlmath] odnosno [inlmath]\max\{a,b\}[/inlmath] predstavljaju.
Zadatak glasi:
1. Posmatrajmo skup prirodnih brojeva [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] i na njemu operaciju [inlmath]\star[/inlmath]. Ispitati da li je [inlmath](\mathbb{N},\star)[/inlmath] grupa ako je operacija [inlmath]\star[/inlmath] definisana sa:
(A) [inlmath]a\star b=\min\{a,b\}[/inlmath], odnosno [inlmath]a\star b[/inlmath] je broj manji od ta dva broja;
(B) [inlmath]a\star b=\max\{a,b\}[/inlmath], odnosno [inlmath]a\star b[/inlmath] je broj veci od ta dva broja.

Ne trazim naravno potpuno resenje zadatka, vec neki hint da ga zapocnem... Naravno da se zadaci ovog tipa lagano resavaju ako lupam (sad dajem neki random primer skroz):

Pr: [inlmath]a\rho b=a+b+5[/inlmath]... I ja lako odavde mogu da proverim da li je grupa, odnosno ispitam zatvorenost, pa onda nakon toga asocijativnost, zatim neutral i inverz... Sve je to lagano za ovako prost primer... Mada nisam siguran sta bih radio sa ovim cudom ovde... Prosto mi je nejasno kakav je to minimum i maksimum u pitanju... Dosta je neodredjeno i ostavlja me zbunjenim u nameri da iole zapocnem zadatak... Vrlo konfuzna/konfuzne operacije sa kojima je potrebno raditi...
 
Postovi: 83
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod primus » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 06:53

Za deo pod A: Da li vredi svojstvo "Postojanje neutralnog elementa"?
Za deo pod B: Da li vredi svojstvo "Postojanje inverznog elementa"?
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod Griezzmiha » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 11:20

Nisam siguran da razumem, kako na osnovu ovih zagrada i samog zapisa zakljucujes sta je sta... Bas mi je nelogicno da iz ovakvih oznaka ([inlmath]\min[/inlmath] i [inlmath]\max[/inlmath]) proistice neutral i inverz... Nisam siguran da kapiram sta si hteo reci, pa i dalje ostajem bez ideje kako da ga pocnem.
 
Postovi: 83
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod ubavic » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 11:21

Što se tiče same definicije operacije: [inlmath]\min\{a,b\}[/inlmath] je najmanji od brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Tako je [inlmath]\min\{5,8\}=5[/inlmath] a [inlmath]\min\{3213,18\}=18[/inlmath]. Slično, [inlmath]\max\{a,b\}[/inlmath] je najveći od brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Koristeći iste brojeve, dobijamo [inlmath]\max\{5,8\}=8[/inlmath] i [inlmath]\max\{3213,18\}=3213[/inlmath]. Naravno, [inlmath]\min\{a,a\}=\max\{a,a\}=a[/inlmath] za svaki broj [inlmath]a[/inlmath].
Sad kad znaš kako su definisane operacije, obrati pažnju na primusov odgovor (mada ne bi bilo loše da ispitaš što više osobina ovih operacija).
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 589
Zahvalio se: 375 puta
Pohvaljen: 588 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod Griezzmiha » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 12:47

Izvini ali ova recenica
odnosno [inlmath]a\star b[/inlmath] je broj manji od ta dva broja

...Ovde jasno zadatak kaze da je [inlmath]\min\{a,b\}[/inlmath] neki treci broj. Ispravite me ako gresim... Znam kako bih sada uradio zadatak po onome sto kaze ubavic, i mislim da sam shvatio sta je primus hteo da kaze, ali opet sa druge strane ovo sto sam citirao iz teksta zadatka pravi zabunu, posto naglasava nesto drugo u odnosu na ono sto je rekao ubavic...
 
Postovi: 83
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod primus » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 13:40

Ti bi bio u pravu da je pisalo: "odnosno [inlmath]a\star b[/inlmath] je broj koji je manji od oba broja."
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod Daniel » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 16:12

Ni meni na prvo čitanje nije bilo sasvim jasno šta je to što Griezzmihu buni, jer mi je definicija operacije navedena u zadatku izgledala sasvim precizno sročena. Međutim, nakon što sam iščitao ove postove i malo bolje pogledao tu definiciju u zadatku, uvideo sam da je ona prilično nespretno i neprecizno sročena, iz dva razloga.
  • Prvi je taj, što ako se kaže manji od ta dva broja, zaista nekako navodi na tumačenje da rezultat operacije nije nijedan od ta dva broja, već neki treći, koji je manji od oba broja (sasvim bi drugi smisao bio da je napisano da je rezultat operacije onaj od ta dva broja koji je manji, ili, kô što napisa ubavic, najmanji od ta dva broja).
  • Drugi razlog je taj, što ako bismo imali dva jednaka broja, npr. [inlmath]\min\{4,4\}[/inlmath], i definiciju koja kaže manji od ta dva broja (ili onaj od ta dva broja koji je manji), ostalo bi nejasno šta je rezultat, jer ovde nijedan od ova dva broja nije manji od onog drugog (jednaki su).
Precizna i nedvosmislena definicija ovakve operacije bila bi
[dispmath]a\star b=\min\{a,b\}=\begin{cases}
a, & a\le b\\
b, & a>b
\end{cases}[/dispmath] Analogno i za [inlmath]\max\{a,b\}[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod Griezzmiha » Nedelja, 25. Oktobar 2020, 17:55

primus je napisao:Za deo pod A: Da li vredi svojstvo "Postojanje neutralnog elementa"?
Za deo pod B: Da li vredi svojstvo "Postojanje inverznog elementa"?

E to je ono sto me buni, upravo sam sada stao razmisljati sta i kako sa ovim... Ja bih u slucaju sa minimumom odnosno
[dispmath]a\star b=\min\{a,b\}[/dispmath] dosao do zakljucka da neutral postoji... I to bi bio, bar je meni tako logicno, [inlmath]\min\{a,a\}[/inlmath]. Znaci sam taj element je sebi neutral, ne znam smem li to tako posmatrati? Isto bih rekao i za slucaj sa maksimumom... Ali je inverz prosto ono sto me buni, nemam blage veze kako bih implementirao inverz u ovakvoj relaciji... Prosto je ocigledno sta je inverz za sabiranje i oduzimanje i slicno, ali ovde zaista ne znam sta bih mogao da uradim....

Vrlo je moguce da sam zeznuo i oko neutrala, ali bar imam neku ideju, suprotno tome kod inverza ne znam sta bih iskreno.
 
Postovi: 83
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod primus » Ponedeljak, 26. Oktobar 2020, 08:32

Neutralni elemenat mora biti jedinstven, što znači da ne mogu postojati dva različita neutralna elementa.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Pojam minimuma i maksimuma

Postod Daniel » Ponedeljak, 26. Oktobar 2020, 23:19

Malo bih proširio primusov (sasvim tačan) odgovor. Neophodno je ispravno čitati formalne definicije, one vrlo jasno određuju šta znači neutralni, a šta inverzni element. Da bi neka struktura [inlmath](G,\star)[/inlmath] bila grupa, potrebno je (ne i dovoljno) da postoji neutralni element, što se zapisuje na sledeći način:
[dispmath](\exists e\in G)(\forall x\in G)(e\star x=x\star e=x)[/dispmath] Ovo čitamo: U skupu [inlmath]G[/inlmath] postoji neki element [inlmath]e[/inlmath], takav da za svaki element [inlmath]x[/inlmath] skupa [inlmath]G[/inlmath] važi [inlmath]e\star x=x\star e=x[/inlmath]. Npr. kod sabiranja realnih brojeva za neutralni element imamo nulu, jer za svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath] važi da kad ga saberemo s nulom dobijamo kao zbir isti taj broj [inlmath]x[/inlmath]; kod množenja realnih brojeva za neutralni element imamo jedinicu, jer za svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath] važi da kad ga pomnožimo jedinicom dobijamo kao proizvod isti taj broj [inlmath]x[/inlmath]. Ali, neutralni element nije onaj element koji će „biti neutral“ za samo neke elemente a za neke ne – mora biti neutral za sve elemente tog skupa, da bi bio neutralni element u pravom smislu te reči. Npr. iako je kod množenja [inlmath]5\cdot0=0\cdot5=0[/inlmath], ne možemo reći da je petica neutralni element kad se množi s nulom, jer petica neće pokazivati osobine neutralnog elementa pri množenju s ostalim realnim brojevima.
(Čisto uzgred, postoji dokaz i da neutralni element, ukoliko postoji, mora biti jedinstven, tj. da ne mogu postojati dva ili više neutralna elementa.)

Nasuprot neutralnom elementu, koji je jedinstven na nivou celog skupa, inverzni element se definiše za jedan određeni element skupa, tj. potreban (ne i dovoljan) uslov da bi algebarska struktura bila grupa jeste taj da svaki element ima sebi inverzan element. Pri tome (već napisah, ali nije zgoreg ponoviti), za razliku od neutralnog elementa koji je univerzalan za tu strukturu, inverzni element nije univerzalan već svaki element ima neki svoj inverz. To se zapisuje na sledeći način:
[dispmath](\forall x\in G)(\exists x^{-1}\in G)(x^{-1}\star x=x\star x^{-1}=e)[/dispmath] gde [inlmath]e[/inlmath] označava neutralni element u toj strukturi.
Možeš uočiti da je ovde raspored kvantifikatora obrnut nego kod definicije neutralnog elementa. Kod neutralnog elementa smo prvo imali [inlmath]\exists[/inlmath] pa zatim [inlmath]\forall[/inlmath], a ovde obrnuto. To je upravo i posledica toga što je neutralni element univerzalan na nivou algebarske strukture („postoji neutralan element takav da za svaki element važi...“), dok je inverzni element „vezan“ za određeni element skupa („za svaki element postoji njegov inverzni element takav da važi...“)
Primere za inverzne elemente imamo u operaciji sabiranja nad realnim brojevima: za element [inlmath]3[/inlmath] inverzni element bi bio [inlmath]-3[/inlmath] (jer je [inlmath]3+(-3)=0[/inlmath]), dok bi za [inlmath]-\pi[/inlmath] inverzni element bio [inlmath]\pi[/inlmath] (jer je [inlmath]-\pi+\pi=0[/inlmath]) – na ova dva primera se jasno vidi da inverzni element u nekoj strukturi nije jedinstven).

Zapravo, način na koji si ti shvatao neutralni element odgovarao bi (pogrešnoj) definiciji [inlmath](\forall x\in G)(\exists e\in G)(e\star x=x\star e=x)[/inlmath] (možeš uočiti da je razlika u odnosu na pravu definiciju neutralnog elementa u tome što su [inlmath](\exists e\in G)[/inlmath] i [inlmath](\forall x\in G)[/inlmath] zamenili redosled).

Nadam se da će ti sad, s ovim pojašnjenjima, biti lakše da odgovoriš da li u ovom zadatku struktura [inlmath](\mathbb{N},\star)[/inlmath] sadrži neutralni i inverzni element.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8841
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4896 puta
Pohvaljen: 4732 puta

Sledeća

Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 15:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs