od Daniel » Ponedeljak, 26. Oktobar 2020, 23:19
Malo bih proširio primusov (sasvim tačan) odgovor. Neophodno je ispravno čitati formalne definicije, one vrlo jasno određuju šta znači neutralni, a šta inverzni element. Da bi neka struktura [inlmath](G,\star)[/inlmath] bila grupa, potrebno je (ne i dovoljno) da postoji neutralni element, što se zapisuje na sledeći način:
[dispmath](\exists e\in G)(\forall x\in G)(e\star x=x\star e=x)[/dispmath] Ovo čitamo: U skupu [inlmath]G[/inlmath] postoji neki element [inlmath]e[/inlmath], takav da za svaki element [inlmath]x[/inlmath] skupa [inlmath]G[/inlmath] važi [inlmath]e\star x=x\star e=x[/inlmath]. Npr. kod sabiranja realnih brojeva za neutralni element imamo nulu, jer za svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath] važi da kad ga saberemo s nulom dobijamo kao zbir isti taj broj [inlmath]x[/inlmath]; kod množenja realnih brojeva za neutralni element imamo jedinicu, jer za svaki realan broj [inlmath]x[/inlmath] važi da kad ga pomnožimo jedinicom dobijamo kao proizvod isti taj broj [inlmath]x[/inlmath]. Ali, neutralni element nije onaj element koji će „biti neutral“ za samo neke elemente a za neke ne – mora biti neutral za sve elemente tog skupa, da bi bio neutralni element u pravom smislu te reči. Npr. iako je kod množenja [inlmath]5\cdot0=0\cdot5=0[/inlmath], ne možemo reći da je petica neutralni element kad se množi s nulom, jer petica neće pokazivati osobine neutralnog elementa pri množenju s ostalim realnim brojevima.
(Čisto uzgred, postoji dokaz i da neutralni element, ukoliko postoji, mora biti jedinstven, tj. da ne mogu postojati dva ili više neutralna elementa.)
Nasuprot neutralnom elementu, koji je jedinstven na nivou celog skupa, inverzni element se definiše za jedan određeni element skupa, tj. potreban (ne i dovoljan) uslov da bi algebarska struktura bila grupa jeste taj da svaki element ima sebi inverzan element. Pri tome (već napisah, ali nije zgoreg ponoviti), za razliku od neutralnog elementa koji je univerzalan za tu strukturu, inverzni element nije univerzalan već svaki element ima neki svoj inverz. To se zapisuje na sledeći način:
[dispmath](\forall x\in G)(\exists x^{-1}\in G)(x^{-1}\star x=x\star x^{-1}=e)[/dispmath] gde [inlmath]e[/inlmath] označava neutralni element u toj strukturi.
Možeš uočiti da je ovde raspored kvantifikatora obrnut nego kod definicije neutralnog elementa. Kod neutralnog elementa smo prvo imali [inlmath]\exists[/inlmath] pa zatim [inlmath]\forall[/inlmath], a ovde obrnuto. To je upravo i posledica toga što je neutralni element univerzalan na nivou algebarske strukture („postoji neutralan element takav da za svaki element važi...“), dok je inverzni element „vezan“ za određeni element skupa („za svaki element postoji njegov inverzni element takav da važi...“)
Primere za inverzne elemente imamo u operaciji sabiranja nad realnim brojevima: za element [inlmath]3[/inlmath] inverzni element bi bio [inlmath]-3[/inlmath] (jer je [inlmath]3+(-3)=0[/inlmath]), dok bi za [inlmath]-\pi[/inlmath] inverzni element bio [inlmath]\pi[/inlmath] (jer je [inlmath]-\pi+\pi=0[/inlmath]) – na ova dva primera se jasno vidi da inverzni element u nekoj strukturi nije jedinstven).
Zapravo, način na koji si ti shvatao neutralni element odgovarao bi (pogrešnoj) definiciji [inlmath](\forall x\in G)(\exists e\in G)(e\star x=x\star e=x)[/inlmath] (možeš uočiti da je razlika u odnosu na pravu definiciju neutralnog elementa u tome što su [inlmath](\exists e\in G)[/inlmath] i [inlmath](\forall x\in G)[/inlmath] zamenili redosled).
Nadam se da će ti sad, s ovim pojašnjenjima, biti lakše da odgovoriš da li u ovom zadatku struktura [inlmath](\mathbb{N},\star)[/inlmath] sadrži neutralni i inverzni element.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain