mariana je napisao: i da sa [inlmath]x {\color{red}\in} \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] oznacavamo podgrupu visekratnika od [inlmath]x[/inlmath]...
ubavic je napisao:Dobar dan,
Pretpostavljam da si umestomariana je napisao: i da sa [inlmath]x {\color{red}\in} \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath] oznacavamo podgrupu visekratnika od [inlmath]x[/inlmath]...
mislila na [inlmath]x\, \mathbb{Z} := \left\{x * z : z \in \mathbb{Z} \right\}[/inlmath], pošto je to standardna oznaka.
ubavic je napisao:Skup [inlmath]x\, \mathbb{Z}[/inlmath] je jedna podgrupa od [inlmath]\mathbb Z[/inlmath] što možeš lako proveriti, ali to nije količnička grupa grupe [inlmath]\mathbb Z[/inlmath]. Međutim, [inlmath]\mathbb Z _x := \mathbb Z / x\,\mathbb Z[/inlmath] jeste količnička grupa i njeni elementi su [inlmath][0],[1],\dots,[x-1][/inlmath] odnosno klase ekvivalencije u odnosu na kongruenciju po modulu [inlmath]x[/inlmath] (ti si na ovo mislila). Termin količnička podgrupa ne postoji (ili ja barem nikad nisam čuo).
ubavic je napisao:Na primer, za [inlmath]x=4[/inlmath], dobijamo [inlmath]4\,\mathbb{Z} = \{\dots-8,-4,0,4,8,12,\dots\}[/inlmath] skup svih celih brojeva deljivih sa četiri. Sa druge strane, [inlmath]6\,\mathbb{Z} = \{\dots-12,-6,0,6,12,\dots\}[/inlmath]. Odavde bi trebalo da možeš da pronađeš [inlmath]x[/inlmath] takvo da je [inlmath]x\,\mathbb Z = 4\,\mathbb Z\cap 6\,\mathbb Z[/inlmath].
mariana je napisao:Ovo je onda zapravo jako zanimljivo! Onda bi presek trebao da bude skup [inlmath]12\, \mathbb{Z}[/inlmath] ,zar ne? - sto je najmanji zajednici sadrzalac.
mariana je napisao:Sad se pitam sta bi onda bila unija? Intuitivno nekako [inlmath]2\, \mathbb{Z}[/inlmath], ali on onda ima visak elemenata, iako s druge strane, pogadja sve elemente iz oba skupa
ubavic je napisao:Probaj da dokažeš sledeću činjenicu: unija dve podgrupe [inlmath]H[/inlmath] i [inlmath]K[/inlmath] grupe [inlmath]G[/inlmath] je podgrupa grupe [inlmath]G[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]H\subseteq K[/inlmath] ili [inlmath]K\subseteq H[/inlmath].
ubavic je napisao:Tako je. Probaj sad da dokažeš da to važi u opštem slučaju, odnosno da za svako [inlmath]m,n[/inlmath] važi [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m\right)[/inlmath]. Vidi zatim da li važi još opštiji slučaj [inlmath]n\,\mathbb Z\cap m\,\mathbb Z\cap k\,\mathbb Z = \mathrm{NZS}\left(n,m,k\right)[/inlmath]
mariana je napisao:Pretpostavimo suprotno: [inlmath]\neg (H\subseteq K) \land \neg (K\subseteq H)[/inlmath] , ali: [inlmath](H \cup K) \subseteq G[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow \exists h \in H[/inlmath] takav da [inlmath]h\notin K[/inlmath] i [inlmath]\exists k \in K[/inlmath], t.d. [inlmath]k \notin H[/inlmath]
No, s obzirom da [inlmath](H \cup K) \subseteq G \Rightarrow hk \in H \cup K \Rightarrow hk \in H \lor hk \in K[/inlmath]
Neka je sad [inlmath]hk \in H \land h \in H \land h^-1 \in H \Rightarrow h^-1 hk = k \in H[/inlmath] sto je kontradikcija [inlmath]\Rightarrow \Leftarrow[/inlmath]
ubavic je napisao:Drugi dokaz nisam uspeo da shvatim.
Dokaži da [inlmath]x\in n\,\mathbb Z \cap m\,\mathbb Z[/inlmath] ako i samo ako [inlmath]x\in k\,\mathbb Z[/inlmath] gde je [inlmath]k=\mathrm{NZS}(n,m)[/inlmath]. Na ovaj način se dokazuje jednakost skupova.
mariana je napisao:Pretpostavimo suprotno: Neka [inlmath]\neg (H\subseteq K)[/inlmath] i neka [inlmath]\neg (K\subseteq H)[/inlmath] , ali [inlmath](H \cup K) \le G[/inlmath]
Tada mora da postoji neki h: [inlmath]\exists h \in H[/inlmath] takav da [inlmath]h\notin K[/inlmath]. Isto tako mora da postoji neki k: [inlmath]\exists k \in K[/inlmath], t.d. [inlmath]k \notin H[/inlmath]
No, s obzirom da je [inlmath](H \cup K) \le G[/inlmath] iz toga sledi da je [inlmath]hk \in H \cup K[/inlmath] ,odnosno ili je [inlmath]hk \in H[/inlmath] ili je [inlmath]hk \in K[/inlmath]
Kako je [inlmath]H\le G[/inlmath] i [inlmath]h\in H[/inlmath], sledi da [inlmath]h^{-1}\in H[/inlmath]. Kako i [inlmath]hk\in H[/inlmath] sledi da [inlmath]k = h^{-1}hk \in H[/inlmath], što je kontradikcija [inlmath]\Rightarrow \Leftarrow[/inlmath] sa pretpostavkom da [inlmath]k\not\in H[/inlmath]
ubavic je napisao:Dokaz je lepo napisan. Međutim moram da ukažem na jedan propust:
ubavic je napisao:Što se tiče drugog dokaza ...
ubavic je napisao: ... (jer je [inlmath]\mathrm{NZS} (m,n)[/inlmath] najmanji prirodan broj koji sadrži [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] takođe sadrži [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]), odnosno da [inlmath]k \mid x[/inlmath]. Ali to upravo znači da [inlmath]x\in k\,\mathbb Z[/inlmath]
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju