Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Vektorski prostor / Baza i dimenzija

Matrice, determinante...

Vektorski prostor / Baza i dimenzija

Postod Srdjan01 » Ponedeljak, 02. Avgust 2021, 19:40

Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko jednog zadatka, pa ako je neko imao sličan problem mnogo bi mi pomoglo :) !

Zadatak glasi: Neka je [inlmath]T[/inlmath] skup svih vektora [inlmath](m,n,e)[/inlmath] za koje je sistem [inlmath]\begin{cases} 3x+2y+z=m\\ x+y+4z=n\\ 5x+3y-2z=e \end{cases}[/inlmath] saglasan. Dokazati da je [inlmath]T[/inlmath] vektorski prostor i odrediti mu jednu bazu i dimenziju.

Prije nego što navedem kako sam pokušao da riješim zadatak, napomenuću da su ovo neke moje ideje koje su mi imale najviše smisla, a vjerovatno nisu ispravne.

Pošto se radi o skupu [inlmath]T[/inlmath], koji sadrži uređenu trojku [inlmath](m,n,e)[/inlmath], ja sam ga na neki način zbog te uredjene trojke poistovjetio sa skupom [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath]. I uz pomoć aksioma:

[inlmath](V1)\;(V,+)[/inlmath] Abelova grupa
[inlmath](V2)\;(\forall\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y\\
(V3)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x\\
(V4)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\cdot\mu)\cdot x\\
(V5)\;1_F\cdot x=x(\forall x\in V)[/inlmath]

dokazao da je [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] vektorski prostor.

Za odredjivanje baze, iskoristio sam zapis:
[dispmath]T=\left(\begin{bmatrix}
a\\
d\\
e
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3\mid\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
m\\
n\\
e
\end{bmatrix}\right)=\text{Ker}\left(\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\right)[/dispmath] Ovdje sam zaključio, da će sistem biti saglasan ukoliko su [inlmath]m=n=e[/inlmath]. Pa odredjivanje baze za [inlmath]m=n=e=0[/inlmath], dobijam sistem:
[dispmath]\begin{cases}
3x+2y+z=0\\
x+y+4z=0\\
5x+3y-2z=0
\end{cases}\\
(x,y,z)=\left(-\frac{7}{11}y,\;y,\;-\frac{1}{11}y\right)[/dispmath] Pa dobijam da je jedna od baza [inlmath]\left(-\frac{7}{11},\;1,\;-\frac{1}{11}\right)[/inlmath].
Koliko ja shvatam, dimenziju posmatram, onoliko koliko imam baza. Pošto će ovdje sistem biti saglasan za svako [inlmath]m=n=e[/inlmath], na neki način zaključujem da baza ima beskonačno, pa je i dimenzija beskonačna. (U ovo nisam siguran !)

Mislim da ima mnogo grešaka u ovom mom razmišljanju, ali ovo su ideje koje su mi "pale" na pamet.

Hvala unaprijed !
Korisnikov avatar
 
Postovi: 91
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Vektorski prostor / Baza i dimenzija

Postod Srdjan01 » Sreda, 29. Septembar 2021, 19:32

U međuvremenu sam došao do rješenja, pa evo, možda će nekom zatrebati
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & m\\ 1 & 1 & 4 & n\\ 5& 3 & - 2& e \end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & n\\ 3 & 2 & 1 & m\\ 5& 3 & - 2& e \end{array}\right]\rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4& n\\ 0 & - 1& - 11& m-3n\\ 0& - 2& - 22& e -5n\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& 4 & n\\ 0 & -1 & - 11& m-3n\\ 0& 0 & 0& e-2m+6n-5n\end{array}\right]\rightarrow
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1& 4 & n\\ 0 & -1 & - 11& m-3n\\ 0& 0 & 0& e-2m+n\end{array}\right][/dispmath]
Da bi sistem bio saglasan, potrebno je da [inlmath]e-2m+n=0[/inlmath], odavde dobijamo da je [inlmath]e=2m-n[/inlmath]
[dispmath]\left[\begin{matrix}
m\\
n\\
e
\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}
m\\
n\\
2m-n
\end{matrix}\right]=m\cdot \left[\begin{matrix}
1\\
0\\
2
\end{matrix}\right] +n\cdot \left[\begin{matrix}
0\\
1\\
-1
\end{matrix}\right]\\T=Lin \left(\left[\begin{matrix}
1\\
0\\
2
\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}
0\\
1\\
-1
\end{matrix}\right]\right)[/dispmath]
Prema teoremi, koja kaže da je svaki lineal vektorski prostor, slijedi da je [inlmath]T[/inlmath] vektorski potprostor prostora [inlmath]\mathbb{R^{3}}[/inlmath].
[dispmath]B_{T} = \left(\left[\begin{matrix}
1\\
0\\
2
\end{matrix}\right], \left[\begin{matrix}
0\\
1\\
-1
\end{matrix}\right]\right) \land dim T=2[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 91
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 10 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 04. Decembar 2021, 14:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs