Vektorski prostor / Baza i dimenzija
Poslato: Ponedeljak, 02. Avgust 2021, 19:40
Pozdrav, potrebna mi je pomoć oko jednog zadatka, pa ako je neko imao sličan problem mnogo bi mi pomoglo !
Zadatak glasi: Neka je [inlmath]T[/inlmath] skup svih vektora [inlmath](m,n,e)[/inlmath] za koje je sistem [inlmath]\begin{cases} 3x+2y+z=m\\ x+y+4z=n\\ 5x+3y-2z=e \end{cases}[/inlmath] saglasan. Dokazati da je [inlmath]T[/inlmath] vektorski prostor i odrediti mu jednu bazu i dimenziju.
Prije nego što navedem kako sam pokušao da riješim zadatak, napomenuću da su ovo neke moje ideje koje su mi imale najviše smisla, a vjerovatno nisu ispravne.
Pošto se radi o skupu [inlmath]T[/inlmath], koji sadrži uređenu trojku [inlmath](m,n,e)[/inlmath], ja sam ga na neki način zbog te uredjene trojke poistovjetio sa skupom [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath]. I uz pomoć aksioma:
[inlmath](V1)\;(V,+)[/inlmath] Abelova grupa
[inlmath](V2)\;(\forall\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y\\
(V3)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x\\
(V4)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\cdot\mu)\cdot x\\
(V5)\;1_F\cdot x=x(\forall x\in V)[/inlmath]
dokazao da je [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] vektorski prostor.
Za odredjivanje baze, iskoristio sam zapis:
[dispmath]T=\left(\begin{bmatrix}
a\\
d\\
e
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3\mid\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
m\\
n\\
e
\end{bmatrix}\right)=\text{Ker}\left(\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\right)[/dispmath] Ovdje sam zaključio, da će sistem biti saglasan ukoliko su [inlmath]m=n=e[/inlmath]. Pa odredjivanje baze za [inlmath]m=n=e=0[/inlmath], dobijam sistem:
[dispmath]\begin{cases}
3x+2y+z=0\\
x+y+4z=0\\
5x+3y-2z=0
\end{cases}\\
(x,y,z)=\left(-\frac{7}{11}y,\;y,\;-\frac{1}{11}y\right)[/dispmath] Pa dobijam da je jedna od baza [inlmath]\left(-\frac{7}{11},\;1,\;-\frac{1}{11}\right)[/inlmath].
Koliko ja shvatam, dimenziju posmatram, onoliko koliko imam baza. Pošto će ovdje sistem biti saglasan za svako [inlmath]m=n=e[/inlmath], na neki način zaključujem da baza ima beskonačno, pa je i dimenzija beskonačna. (U ovo nisam siguran !)
Mislim da ima mnogo grešaka u ovom mom razmišljanju, ali ovo su ideje koje su mi "pale" na pamet.
Hvala unaprijed !
Zadatak glasi: Neka je [inlmath]T[/inlmath] skup svih vektora [inlmath](m,n,e)[/inlmath] za koje je sistem [inlmath]\begin{cases} 3x+2y+z=m\\ x+y+4z=n\\ 5x+3y-2z=e \end{cases}[/inlmath] saglasan. Dokazati da je [inlmath]T[/inlmath] vektorski prostor i odrediti mu jednu bazu i dimenziju.
Prije nego što navedem kako sam pokušao da riješim zadatak, napomenuću da su ovo neke moje ideje koje su mi imale najviše smisla, a vjerovatno nisu ispravne.
Pošto se radi o skupu [inlmath]T[/inlmath], koji sadrži uređenu trojku [inlmath](m,n,e)[/inlmath], ja sam ga na neki način zbog te uredjene trojke poistovjetio sa skupom [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath]. I uz pomoć aksioma:
[inlmath](V1)\;(V,+)[/inlmath] Abelova grupa
[inlmath](V2)\;(\forall\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(x+y)=\lambda\cdot x+\lambda\cdot y\\
(V3)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)(\lambda+\mu)\cdot x=\lambda\cdot x+\mu\cdot x\\
(V4)\;(\forall\mu,\lambda\in F)(\forall x\in V)\lambda\cdot(\mu\cdot x)=(\lambda\cdot\mu)\cdot x\\
(V5)\;1_F\cdot x=x(\forall x\in V)[/inlmath]
dokazao da je [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] vektorski prostor.
Za odredjivanje baze, iskoristio sam zapis:
[dispmath]T=\left(\begin{bmatrix}
a\\
d\\
e
\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^3\mid\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
m\\
n\\
e
\end{bmatrix}\right)=\text{Ker}\left(\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1\\
1 & 1 & 4\\
5 & 3 & -2
\end{bmatrix}\right)[/dispmath] Ovdje sam zaključio, da će sistem biti saglasan ukoliko su [inlmath]m=n=e[/inlmath]. Pa odredjivanje baze za [inlmath]m=n=e=0[/inlmath], dobijam sistem:
[dispmath]\begin{cases}
3x+2y+z=0\\
x+y+4z=0\\
5x+3y-2z=0
\end{cases}\\
(x,y,z)=\left(-\frac{7}{11}y,\;y,\;-\frac{1}{11}y\right)[/dispmath] Pa dobijam da je jedna od baza [inlmath]\left(-\frac{7}{11},\;1,\;-\frac{1}{11}\right)[/inlmath].
Koliko ja shvatam, dimenziju posmatram, onoliko koliko imam baza. Pošto će ovdje sistem biti saglasan za svako [inlmath]m=n=e[/inlmath], na neki način zaključujem da baza ima beskonačno, pa je i dimenzija beskonačna. (U ovo nisam siguran !)
Mislim da ima mnogo grešaka u ovom mom razmišljanju, ali ovo su ideje koje su mi "pale" na pamet.
Hvala unaprijed !