MATEMANIJA

Odredite rješenje matrične jednadžbe
[dispmath]AXB=C[/dispmath]
ako je[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
1 & 3 \\
-3 & 1
\end{matrix}\right],\;B=\left[\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 5
\end{matrix}\right],\;C=\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]

---

Nako sređivanja, jednadžba izgleda ovako: [dispmath]X=A^{-1}\cdot B^{-1}\cdot C[/dispmath]
Sada treba izračunati inverz matrica [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] te potom sve to uvrstiti i izmnožiti. Radio sam preko determinanti i dobio sljedeće:
[dispmath]A^{-1}=\frac{1}{10}\left[\begin{matrix}
1 & -3 \\
3 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{matrix}
5 & 0 \\
0 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
To uvrstim u sređeni izraz jednadžbe i imam ovo:
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}1 & -3 \\ 3 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}5 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
Potom sam izmnožio prvu i drugu matricu
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}1\cdot 5+(-3)\cdot 0 & 1\cdot 0 +(-3)\cdot 1 \\ 3\cdot 5+1\cdot 0 & 3\cdot 0+1\cdot 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
pa je to
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}5 & -3 \\ 15 & 1 \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
3 & 2 \\
0 & 5
\end{matrix}\right][/dispmath]
i njih izmnožim po istom principu.

Kao rezultat dobio sam
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}15 & -5 \\ 45 & 35 \end{matrix}\right][/dispmath]
ali to nije točno. Ispravno bi bilo
[dispmath]X=\frac{1}{50}\left[\begin{matrix}15 & -13 \\ 45 & 11 \end{matrix}\right][/dispmath]
Gdje grješim? Sam ne mogu otkriti

Nije svejedno sa koje strane množiš, matrice nisu komutativne u opštem slučaju. Svakako, celu jednačinu množiš sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath] i [inlmath]B^{-1}[/inlmath], ali prvim sa leve, a drugim sa desne strane.

Otuda je [inlmath]X= A^{-1} C B^{-1}[/inlmath]

Milovan je napisao:Nije svejedno sa koje strane množiš, matrice nisu komutativne u opštem slučaju.

S ovim sam se još ranije upoznao, ali nije mi jasno zašto baš
[dispmath]X=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]
a ne
[dispmath]X=A^{-1}\cdot B^{-1}\cdot C[/dispmath]
Zbog toga što je u početnoj jednadžbi [inlmath]X[/inlmath] u sredini, pa onda mora biti i [inlmath]C[/inlmath] ili?
Može li malo detaljnije objašnjenje da ne bih ubuduće grješio na ovome

Početna jednačina ti je, dakle, glasila
[dispmath]AXB=C[/dispmath]
Kako bi prvo eliminisao [inlmath]A[/inlmath] na levoj strani, moraš [inlmath]A^{-1}[/inlmath] pomnožiti levom stranom, a da ne bi narušio jednakost, moraš takođe [inlmath]A^{-1}[/inlmath] pomnožiti i desnom stranom:
[dispmath]\cancel{A^{-1}}\cancel AXB=A^{-1}C[/dispmath]
[dispmath]XB=A^{-1}C[/dispmath]
Vrlo je bitan redosled množenja, zbog toga što ne važi komutativnost. Znači, da si levu stranu jednačine množio sa [inlmath]A^{-1}[/inlmath], dobio bi na levoj strani [inlmath]AXBA^{-1}[/inlmath] i s time ništa ne bi mogao da uradiš.
Pošto si eliminisao [inlmath]A[/inlmath], sada treba eliminisati i [inlmath]B[/inlmath]. Da bi to postigao, pošto je [inlmath]B[/inlmath] krajnji desni činilac, ovaj put radiš obrnuto u odnosu na slučaj eliminacije [inlmath]A[/inlmath] – sada množiš levu stranu jednačine sa [inlmath]B^{-1}[/inlmath], a istovremeno i desnu:
[dispmath]X\cancel B\cancel{B^{-1}}=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]
i ostaje
[dispmath]X=A^{-1}CB^{-1}[/dispmath]

Hvala, sada mi je (nadam se) jasno

Da li je matrična jednadžba
[dispmath](AXB)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath]
ispravno sređena:
[dispmath]X=B^{-1}\left(A^{-1}-I\right)[/dispmath]

Kako bismo sredili ovu:
[dispmath](AXB)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath]

eseper je napisao:Da li je matrična jednadžba
[dispmath](AXB)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath]
ispravno sređena:
[dispmath]X=B^{-1}\left(A^{-1}-I\right)[/dispmath]

Tačno rešenje je [inlmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/inlmath], pa, kada bi za množenje matrica važila komutativnost, onda bi i tvoje rešenje bilo tačno; ali, komutativnost za množenje ne važi.

Evo postupka:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(AXB\right)\left(AXB\right)^{-1}}=\left(AXB\right)B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]I=AX\cancelto{I}{\left(BB^{-1}\right)}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]I=A\cancelto{I}{XX^{-1}}+AXB[/dispmath][dispmath]AXB=I-A[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{A^{-1}A}XB=A^{-1}\left(I-A\right)[/dispmath][dispmath]XB=A^{-1}-\cancelto{I}{A^{-1}A}[/dispmath][dispmath]XB=A^{-1}-I[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BB^{-1}}=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath]

---

Drugi način:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][inlmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(AX\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}A^{-1}\right)=B^{-1}X^{-1}A^{-1}[/inlmath][dispmath]\cancel{B^{-1}}X^{-1}A^{-1}=\cancel{B^{-1}}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]X^{-1}A^{-1}=X^{-1}+B[/dispmath][dispmath]X^{-1}A^{-1}-X^{-1}=B[/dispmath][dispmath]X^{-1}\left(A^{-1}-I\right)=B[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{XX^{-1}}\left(A^{-1}-I\right)=XB[/dispmath][dispmath]A^{-1}-I=XB[/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}=X\cancelto{I}{BB^{-1}}[/dispmath][dispmath]X=\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}[/dispmath]

---

Provera:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}+B\right)[/dispmath][dispmath]\left\{A\left[\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}\right]B\right\}^{-1}=B^{-1}\left\{\left[\left(A^{-1}-I\right)B^{-1}\right]^{-1}+B\right\}[/dispmath][dispmath]\left[A\left(A^{-1}-I\right)\cancelto{I}{\left(B^{-1}B\right)}\right]^{-1}=B^{-1}\left[B\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+B\right][/dispmath][dispmath]\left[A\left(A^{-1}-I\right)\right]^{-1}=\cancelto{I}{B^{-1}B}\left[\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+I\right][/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)^{-1}A^{-1}=\left(A^{-1}-I\right)^{-1}+I[/dispmath][dispmath]\left(A^{-1}-I\right)^{-1}A^{-1}-\left(A^{-1}-I\right)^{-1}=I[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(A^{-1}-I\right)^{-1}\left(A^{-1}-I\right)}=I[/dispmath][dispmath]I=I[/dispmath]

eseper je napisao:Kako bismo sredili ovu:
[dispmath](AXB)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath]

[dispmath]\left(AXB\right)\left[\left(AXB\right)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}\right]=\cancelto{0}{\left(AXB\right)0}[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{\left(AXB\right)\left(AXB\right)^{-1}}+AXBA^TB^2+AX\cancelto{I}{\left(BB^{-1}\right)}X^{-1}=0[/dispmath][dispmath]I+AXBA^TB^2+A\cancelto{I}{XX^{-1}}=0[/dispmath][dispmath]I+AXBA^TB^2+A=0[/dispmath][dispmath]AXBA^TB^2=-A-I[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{A^{-1}A}XBA^TB^2=A^{-1}\left(-A-I\right)[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-\cancelto{I}{A^{-1}A}-A^{-1}[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-I-A^{-1}[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BA^TB^2\left(BA^TB^2\right)^{-1}}=\left(-I-A^{-1}\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(-I-A^{-1}\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]

---

Drugi način:[dispmath]\left(AXB\right)^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath][inlmath]\left(AXB\right)^{-1}=B^{-1}\left(AX\right)^{-1}=B^{-1}\left(X^{-1}A^{-1}\right)=B^{-1}X^{-1}A^{-1}[/inlmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}A^{-1}+A^TB^2+B^{-1}X^{-1}=0[/dispmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}A^{-1}+B^{-1}X^{-1}=-A^TB^2[/dispmath][dispmath]B^{-1}X^{-1}\left(A^{-1}+I\right)=-A^TB^2[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{BB^{-1}}X^{-1}\left(A^{-1}+I\right)=-BA^TB^2[/dispmath][dispmath]\cancelto{I}{XX^{-1}}\left(A^{-1}+I\right)=-XBA^TB^2[/dispmath][dispmath]XBA^TB^2=-A^{-1}-I[/dispmath][dispmath]X\cancelto{I}{BA^TB^2\left(BA^TB^2\right)^{-1}}=\left(-A^{-1}-I\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(-A^{-1}-I\right)\left(BA^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]

[dispmath]X^{-1}A-BX^{-1}A=C^2+B^T[/dispmath]
Dobro sređena?
[dispmath]X=\left(C^2A^{-1}+B^TA^{-1}\right)^{-1}(I-B)[/dispmath]

Jeste, samo, ja bih to još malo doterao:[dispmath]X=\left[\left(C^2+B^T\right)A^{-1}\right]^{-1}\left(I-B\right)[/dispmath][dispmath]X=\left[\left(A^{-1}\right)^{-1}\left(C^2+B^T\right)^{-1}\right]\left(I-B\right)[/dispmath][dispmath]X=A\left(C^2+B^T\right)^{-1}\left(I-B\right)[/dispmath]

Odrediti rješenje jednadžbe
[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]A=\left[\begin{matrix}
2 & 5 \\
1 & 3
\end{matrix}\right],\;B=\left[\begin{matrix}
1 & 2 \\
0 & 1
\end{matrix}\right],\;C=\left[\begin{matrix}
2 & -3 \\
1 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
Nakon sređivanja dobijem [dispmath]X=(B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]
[dispmath]B+I=\left[\begin{matrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]C^T=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]B^2=\left[\begin{matrix}
1 & 4 \\
0 & 1
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}=\left[\begin{matrix}
3 & -5 \\
-1 & 2
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}C^T=\left[\begin{matrix}
21 & 13 \\
-8 & -5
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]A^{-1}C^TB^2=\left[\begin{matrix}
21 & 97 \\
-8 & -37
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sumnjam da je točno rješenje

eseper je napisao:Nakon sređivanja dobijem [dispmath]X=(B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]

Ja ne dobijem to. Evo kako sam ja radio:[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^T B^2[/dispmath][dispmath]AX^{-1}\left(B+I\right)=C^T B^2[/dispmath][dispmath]\underbrace{A^{-1}A}_IX^{-1}\left(B+I\right)=A^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]X^{-1}\left(B+I\right)=A^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]\underbrace{XX^{-1}}_I\left(B+I\right)=XA^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]B+I=XA^{-1}C^T B^2[/dispmath][dispmath]XA^{-1}C^T B^2=B+I[/dispmath][dispmath]X\underbrace{\left(A^{-1}C^T B^2\right)\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}}_I=\left(B+I\right)\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left[A^{-1}\left(C^T B^2\right)\right]^{-1}[/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left[\left(C^T B^2\right)^{-1}\left(A^{-1}\right)^{-1}\right][/dispmath][dispmath]X=\left(B+I\right)\left(C^T B^2\right)^{-1}A[/dispmath]
Dakle, nije potrebno ni računati [inlmath]A^{-1}[/inlmath].
Dobije se rezultat [inlmath]X=\left[\begin{matrix}
58 & 152 \\
-16 & -42
\end{matrix}\right][/inlmath] što, kad se uvrsti u polaznu jednačinu, daje ispravnu jednakost.

Hm, pa nije li to isto?

Dobio sam iz trećeg pokušaja identično, grješio sam na gluposti (tražeći [inlmath]E^{-1}[/inlmath] nisam našao determinantu...);)
Evo mog postupka sređivanja.
[dispmath]A^{-1} / \;\; AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]X / \;\; X^{-1}B+X^{-1}=A^{-1}C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]B+I=X\left(A^{-1}C^TB^2\right) \;\; /\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}[/dispmath]
[dispmath](B+I)\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=X[/dispmath]
a to se, ako se ne varam, može još zapisati i kao
[dispmath]X=(B+I)\left(B^2\right)^{-1}\left(C^T\right)^{-1}A[/dispmath]

eseper je napisao:Hm, pa nije li to isto?

Ovaj facepalm nisam uputio tebi, već samom sebi. Pojma nemam zašto mi se učinilo da nam se izrazi razlikuju. Da, naravno da smo isto dobili i ti i ja, izrazi su identični. Al' ako ništa drugo, bar sam ispisao postupak, možda će nekome biti od koristi.

Ti si radio manje-više isto kao i ja, samo je malo drugačiji redosled izvlačenja ispred zagrade i množenja radi dobijanja jedinične matrice.

eseper je napisao:a to se, ako se ne varam, može još zapisati i kao
[dispmath]X=(B+I)\left(B^2\right)^{-1}\left(C^T\right)^{-1}A[/dispmath]

Može, ali je manji posao prvo izmnožiti [inlmath]C^T[/inlmath] i [inlmath]B^2[/inlmath] pa naći inverz od toga, nego tražiti zasebno inverz i od [inlmath]B^2[/inlmath] i od [inlmath]C^T[/inlmath] pa ih onda množiti.

Je li matrična jednadžba
[dispmath]A^2(BX)^{-1}+B^TA=X^{-1}B^{-1}+I[/dispmath]
dobro sređena?
[dispmath]X=\left(B-B^TAB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]

Jeste.
Zbog onih koje bi možda interesovao postupak:
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}+B^T A=X^{-1}B^{-1}+I[/dispmath]
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}+B^T A=\left(BX\right)^{-1}+I[/dispmath]
[dispmath]A^2\left(BX\right)^{-1}-\left(BX\right)^{-1}=I-B^T A[/dispmath]
[dispmath]\left(A^2-I\right)\left(BX\right)^{-1}=I-B^T A[/dispmath]
[dispmath]\left(A^2-I\right)\underbrace{\left(BX\right)^{-1}\cdot\left(BX\right)}_I=\left(I-B^T A\right)\cdot\left(BX\right)[/dispmath]
[dispmath]\left(I-B^T A\right)BX=A^2-I[/dispmath]
[dispmath]\left(B-B^T AB\right)X=A^2-I[/dispmath]
[dispmath]\underbrace{\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(B-B^T AB\right)}_IX=\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]
[dispmath]X=\left(B-B^T AB\right)^{-1}\left(A^2-I\right)[/dispmath]

eseper je napisao:Odrediti rješenje jednadžbe
[dispmath]AX^{-1}B+AX^{-1}=C^TB^2[/dispmath]
[dispmath]\cdots[/dispmath]
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]
Sumnjam da je točno rješenje

Tek sad pogledah ponovo taj zadatak i videh da ti, zapravo, nisam odgovorio na ono što je bilo pitanje. Sorry. Pretpostavljam da ti zadatak nije više aktuelan, ali evo, da ne ostane bez odgovora.

Jedna greška je u ovom koraku:

eseper je napisao:[dispmath]A^{-1}C^TB^2=\left[\begin{matrix}
21 & 97 \\
-8 & -37
\end{matrix}\right][/dispmath]
[dispmath]\left(A^{-1}C^TB^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right][/dispmath]

Treba
[dispmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}
37 & 97 \\
-8 & -21
\end{matrix}\right][/dispmath]
A druga greška je odmah u sledećem koraku:

eseper je napisao:[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 1 \\
-3 & -2
\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}
37 & -97 \\
8 & 21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
82 & -173 \\
-127 & 249
\end{matrix}\right][/dispmath]

Znači, [inlmath]X[/inlmath] si računao kao proizvod [inlmath]C^T[/inlmath] i [inlmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/inlmath], umesto kao proizvod [inlmath]\left(B+I\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(A^{-1}C^T B^2\right)^{-1}[/inlmath].

Treba, dakle,
[dispmath]X=\left[\begin{matrix}
2 & 2 \\
0 & 2
\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}
37 & 97 \\
-8 & -21
\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}
58 & 152 \\
-16 & -42
\end{matrix}\right][/dispmath]
što bi bilo tačno rešenje.