Komutiranje matrica

PostPoslato: Sreda, 13. Oktobar 2021, 20:55
od lattok
Pozdrav, imam zadatak koji glasi ovako: Odredi sve matrice koje komutiraju s matricom [dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4
\end{bmatrix}.[/dispmath]

Ono što znam da kod komutacije mora da vrijedi jeste [inlmath]AX=XA[/inlmath], gdje je [inlmath]X[/inlmath] tražena matrica (odnosno sve tražene matrice ali zapisane u općenitom obliku). A [inlmath]X[/inlmath] matrica mi je npr.
[dispmath]X=\begin{bmatrix}
a & b\\
c & d
\end{bmatrix}[/dispmath] Nakon množenja obje strane, dobijem nešto ovako
[dispmath]\begin{bmatrix}
a+2c & b+2d\\
3a+4c & 3b+4d
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a+3b & 2a+4b\\
c+3d & 2c+4d
\end{bmatrix}[/dispmath] Dalje, da bi dvije matrice bile jednake moraju im i elementi biti jednaki, ali kako riješiti ovaj sistem i zapisati ga u općenitom obliku.
Ako neko može pomoći, bilo bi super.

Hvala unaprijed

Re: Komutiranje matrica

PostPoslato: Ponedeljak, 18. Oktobar 2021, 19:03
od Daniel
Nakon što napišeš sistem, možeš odmah uočiti da su prva i četvrta jednačina sistema međusobno linearno zavisne, tako da jednu od njih možeš eliminisati. Iz bilo koje od njih nađeš vezu [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].
Uvrštavanjem u drugu (ili treću), takođe će i druga i treća jednačina postati linearno zavisne, što znači da nam ostaju samo dve linearno nezavisne jednačine.
Ako si sve ispravno uradio, treba da dobiješ jednačine [inlmath]3b=2c[/inlmath] i [inlmath]a+c=d[/inlmath].
Pošto je broj nepoznatih veći od broja linearno nezavisnih jednačina, to znači da rešenja ima beskonačno mnogo, pri čemu svaku od nepoznatih možemo izraziti preko dva promenljiva parametra. Neka su ti parametri [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath] ([inlmath]t,u\in\mathbb{R}[/inlmath]).
Možemo npr. uzeti da je [inlmath]t=a[/inlmath] i da je [inlmath]u=c[/inlmath] (ovo smo mogli učiniti na više načina, ali nekako napipavamo najzgodniji). Tada je [inlmath](a,b,c,d)=\left(t,\;\frac{2}{3}u,\;u,\;t+u\right)[/inlmath], pa je [inlmath]X=\begin{bmatrix} t & \frac{2}{3}u\\ u & t+u \end{bmatrix}[/inlmath].
Ili, ako ne želimo razlomke, možemo uzeti [inlmath]t=a[/inlmath] i [inlmath]u=3c[/inlmath], tada bi bilo [inlmath](a,b,c,d)=\left(t,\;2u,\;3u,\;t+3u\right)[/inlmath], pa je [inlmath]X=\begin{bmatrix} t & 2u\\ 3u & t+3u \end{bmatrix}[/inlmath].
Provera bilo kog od ova dva zapisa rezultata može se izvršiti uvrštavanjem u [inlmath]AX=XA[/inlmath], čime se, nakon izračunavanja, možemo uveriti da je jednakost zadovoljena, tj. da matrice jesu komutativne.