Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI LINEARNA ALGEBRA

Dokazati da su uredjeni parovi izomorfne Abelove grupe

Matrice, determinante...

Dokazati da su uredjeni parovi izomorfne Abelove grupe

Postod Griezzmiha » Ponedeljak, 07. Mart 2022, 18:41

Pozdrav, imam problem sa razumevanjem drugog zadatka i zakljucka koji je donet na kraju. Prvi razumem rekao bih skroz, dok je drugi konfuzan u nekoliko delova...Prvi je vazan deo objave, nije visak, cisto da bih mogao da uporedim pojedinosti koje prvi zadatak obuhvata, a koje (bar ja mislim) drugi izostavlja iz nekog razloga.

Def. Preslikavanje [inlmath]f\colon G\to H[/inlmath] ([inlmath](G,\circ)[/inlmath] je grupa, [inlmath](H,*)[/inlmath] je grupa) se naziva homomorfizam grupa [inlmath](G,\circ)[/inlmath] u [inlmath](H,*)[/inlmath] ako važi [inlmath](\forall a,b\in G)f(a\circ b)=f(a)*f(b)[/inlmath].
Def. Bijektivni homomorfizam se naziva izomorfizam ([inlmath]f[/inlmath] je bijekcija).

[inlmath]\enclose{circle}1[/inlmath] [inlmath]f\colon(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^+,\cdot)[/inlmath] dato je [inlmath]f(x):=e^x[/inlmath]
a) Da li je homomorfizam? b) Da li je izomorfizam?
[inlmath]f(x+y)=e^{x+y}=e^x\cdot e^y=f(x)\cdot f(y)[/inlmath]
[inlmath]e^x[/inlmath] jeste bijekcija [inlmath]\Longrightarrow[/inlmath] izomorfizam

[inlmath]\enclose{circle}2[/inlmath] [inlmath]G=\{1,i,-1,-i\}[/inlmath], [inlmath]H=\{0,1,2,3\}[/inlmath]. Označimo sa [inlmath]\cdot[/inlmath] množenje u [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], [inlmath]+_4[/inlmath] je sabiranje po modulu [inlmath]4[/inlmath]. Dokazati da su [inlmath](G,\cdot)[/inlmath] i [inlmath](H,+_4)[/inlmath] izomorfne Abelove grupe.

Kejlijeva tablica
[dispmath]\begin{array}{c|c|c|c|c|}
& 1 & i & -1 & -i\\ \hline
1 & 1 & i & -1 & -i\\ \hline
i & i & -1 & -i & 1\\ \hline
-1 & -1 & -i & 1 & i\\ \hline
-i & -i & 1 & i & -1\\ \hline
\end{array}\qquad\begin{array}{c|c|c|c|c|}
+_4 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline
1 & 1 & 2 & 3 & 0\\ \hline
2 & 2 & 3 & 0 & 1\\ \hline
3 & 3 & 0 & 1 & 2\\ \hline
\end{array}[/dispmath] [inlmath](G,\cdot)\;(H,+_4)[/inlmath]

[inlmath](\mathbb{C}\setminus\{0\},\cdot)\\
(G,\cdot)\\
a\in G\quad i^m\quad m\in\{0,1,2,3\}\quad i,i^2,i^3,i^4,i^5,\ldots\\
b\in G\quad i^k\quad k\in\{0,1,2,3\}\quad i,-1,-i,1,i,-1,-i,1\\
a\cdot b^{-1}=i^m\cdot i^{4-k}=i^{m+4-k}\in G[/inlmath]

[inlmath]0\mapsto1\\
1\mapsto i\\
2\mapsto-1\\
3\mapsto-i[/inlmath]

[inlmath]f(x)=i^x\\
f\colon H\to G\\
f(x+_4y)=i^{x+_4y}=i^{(x+y)\bmod4}\\
f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath]



Mene sada zanima kako je moguce da je [inlmath]f(x)\cdot f(y)=i^x\cdot i^y=i^{x+y}=i^{(x+y)\bmod4}[/inlmath] tj. [inlmath]i^{x+_4y} = i^{(x+y)mod4} \Leftrightarrow i^{x+y} = i^{(x+y)mod4}[/inlmath]...Bas mi nema nikakvog smisla iskreno, plus (mozda ste primetli), u tekstu drugog zadatka se uopste ne napominje/definise funkcija [inlmath]f[/inlmath] kao u prvom na primer...Da li se od mene ocekuje da nesto u tekstu zadatka implicira kako funkcija [inlmath]f[/inlmath] izgleda ili je prosto zaboravljeno da se to napomene?
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dokazati da su uredjeni parovi izomorfne Abelove grupe

Postod Griezzmiha » Ponedeljak, 07. Mart 2022, 19:37

Samo bih jos dodao i to da me nalazenje inverza [inlmath]i^{4-k}[/inlmath] malo buni...Zanima me, pretpostavljam da onaj koji cita ovo to dobro zna, kako vam je intuitivno pronalazenje inverza tj. formule takoreci [inlmath]i^{4-k}[/inlmath], potrosio sam dobrih 4-5 minuta da shvatim zasto je [inlmath]i^{4-k}[/inlmath] uopste inverz. Da li vam je prepoznavanje ovoga logicno jer ste prosto iz iskustva navikli na tako nesto, ili iz nekog drugog razloga ja potrosim vise vremena da shvatim zasto je to uopste tako, a neko za 4-5 sekundi nadje resenje?
Korisnikov avatar
 
Postovi: 112
Zahvalio se: 48 puta
Pohvaljen: 2 puta


Povratak na LINEARNA ALGEBRA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 49 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:42 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs