Pozdrav! U postupku resavanja sledeceg zadatka nailazim na jednu nedoumicu u vezi odredjivanja znaka leve i desne strane, neposredno pre kvadriranja. Zadatak glasi: Ako je
[dispmath]\sin x+\cos x+\sin x\cos x=\frac{3}{2}[/dispmath] odrediti
[dispmath]\sin2x[/dispmath] metodicka zbirka zadataka Mirko S. Jovanovic. Resenje zadatka je
[dispmath]5-2\sqrt5[/dispmath]
Ja sam zadatak radio na sledeci nacin:
[dispmath]\sin x+\cos x+\sin x\cos x=\frac{3}{2}\\
\sin x+\cos x=\frac{3}{2}-\sin x\cos x[/dispmath] Iz ovoga zakljucujem da je desna strana pozitivna, sto ne vazi i za levu, tako da molim za pomoc u vezi odredjivanja znaka leve strane. Da bi mogli da kvadriramo neophodno je da su i leva i desna strana istog znaka.
Zadatak sam doterao do kraja, cisto da vidim sta cu dobiti. Kvadrirao sam i levu i desnu stranu, kao da mi je sve jasno, i na kraju sam dobio kvadratnu jednacinu. Jedno resenje sam odbacio jer se ne nalazi u odgovarajucem intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath], a drugo resenje kvadratne je zapravo i resenje zadatka.
Mislim da time sto sam dosao do resenja nisam nista uradio ako mi postupak nije u potpunosti jasan. Pokusao sam i da nadjem drugi nacin, bez kvadriranja, ali bezuspesno.

Frank Martin je napisao:[dispmath]\sin x+\cos x=\frac{3}{2}-\sin x\cos x[/dispmath] Iz ovoga zakljucujem da je desna strana pozitivna, sto ne vazi i za levu, tako da molim za pomoc u vezi odredjivanja znaka leve strane.

Levu stranu možeš transformisati:
[dispmath]\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath] što je po adicionoj formuli jednako
[dispmath]\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath] i onda je lako odrediti za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] bi ovaj izraz bio pozitivan.

Ima i drugi način, tako što [inlmath]\sin x+\cos x>0[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\sin x>-\cos x[/inlmath], a zatim, pre deljenja obe strane kosinusom, razdvajaš na slučaj kada je kosinus veći od nule, kada je manji od nule i kada je nula (tada i nema deljenja). Za pozitivan kosinus (što odgovara desnoj polovini trigonometrijske kružnice) dobije se [inlmath]\text{tg }x>-1[/inlmath] pa se nađe presek tih vrednosti; za negativan kosinus (što odgovara levoj polovini trigonometrijske kružnice) dobije se [inlmath]\text{tg }x<-1[/inlmath] pa se nađe presek tih vrednosti; na kraju se nađe unija rešenja prvog i drugog slučaja, kao i rešenja za slučaj da je kosinus jednak nuli.

Frank Martin je napisao:Pokusao sam i da nadjem drugi nacin, bez kvadriranja, ali bezuspesno.

Kao što si video (a i sâm konstatovao), postavljanje uslova pozitivnosti leve strane nije baš mali posao i bolje ga je izbeći. Ja preporučujem sledeći način. Možemo naći vezu između traženog [inlmath]\sin2x[/inlmath] i izraza [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath] na sledeći način:
[dispmath](\sin x+\cos x)^2=\underbrace{\sin^2x+\cos^2x}_1+\underbrace{2\sin x\cos x}_{\sin2x}=1+\sin2x\\
\Longrightarrow\quad\sin2x=(\sin x+\cos x)^2-1[/dispmath] Pošto iz zadate jednačine sledi [inlmath]\sin x+\cos x=\frac{3}{2}-\sin x\cos x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sin2x[/inlmath], možemo to uvrstiti u prethodni identitet:
[dispmath]\sin2x=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sin2x\right)^2-1[/dispmath] nakon čega to malo sredimo i dobijemo kvadratnu po [inlmath]\sin2x[/inlmath]...

Hvala! Razumeo sam u potpunosti zadatak. Treci nacin resavanja je "najjednostavniji" (barem meni).