Kužim kužim

vidi scary smajlić

Zadatak:
Koja je minimalna vrednost funkcije: [inlmath]4\sin x-\cos^2x+9[/inlmath]?
[dispmath]4\sin x-\cos^2x+9=4\sin x-\left(1-\sin^2x\right)+9=4\sin x-1+\sin^2x+9=\enclose{box}{\sin^2x+4\sin x+9}[/dispmath]
E, sad, ovo se lagano rešava ako umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] ubacimo [inlmath]-1[/inlmath], pa se dobije rešenje [inlmath]5[/inlmath]. Ali sam hteo da probam i drugi metod. Primetio sam da je ispred [inlmath]\sin^2x[/inlmath] pozitivan koeficijent, te će ova kvadratna funkcija imati minimum, dakle možemo ga odrediti računajući [inlmath]y[/inlmath] koordinatu temena, preko [inlmath]\frac{-D}{4a}[/inlmath], iz čega se dobije rešenje [inlmath]4[/inlmath]. Zbog čega ova caka ne može da prođe ovde?

U neku ruku shvatam da, ako bih ovo radio za tu funkciju, praktično bi značilo da se ponašam kao da nema razlike između nje i [inlmath]x^2+4x+9[/inlmath], što svakako ne može dati tačna rešenja, ali može li mi neko malo preciznije objasniti ovaj slučaj?

Ovo mi je nešto poznato, moguće da smo i imali takav zadatak, al' me mrzi sad da kopam...
* EDIT * Iskopao sam... I, zbog sličnosti zadataka, nadovezao sam tvoju temu na tu već postojeću.

Pogrešno si otkucao, treba [inlmath]\sin^2x+4\sin x+{\color{red}8}[/inlmath].

Pošto sinus pripada intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], kada uvodiš smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath] i dobiješ [inlmath]t^2+4t+8[/inlmath], moraš napisati uslov da i [inlmath]t\in\left[-1,1\right][/inlmath]. To znači, treba prvo da proveriš da li [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena uopšte pripada tom intervalu u kojem se nalazi [inlmath]t[/inlmath], pa tek ako pripada, onda primeniš pomenutu formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena i time nađeš minimalnu vrednost.

Međutim, ovde ćeš dobiti da je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena jednaka [inlmath]-2[/inlmath], znači, ne pripada intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]. Onda možeš logički razmišljati: pošto se teme nalazi levo od intervala u kome se [inlmath]t[/inlmath] može naći, znači da se u tom intervalu nalazi desni krak parabole, koji je rastući; prema tome, minimalna vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] biće jednaka vrednosti funkcije na levoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]-1[/inlmath].

I, zaista:
[dispmath]f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+8=5[/dispmath]
Nego, ne kontam baš najbolje tvoj prvi način:

stevan95 je napisao:E, sad, ovo se lagano rešava ako umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] ubacimo [inlmath]-1[/inlmath], pa se dobije rešenje [inlmath]5[/inlmath].

Na osnovu čega si, rešavajući na taj način, zaključio da umesto [inlmath]\sin x[/inlmath] treba ubaciti [inlmath]-1[/inlmath]?

Daniel je napisao:Onda možeš logički razmišljati: pošto se teme nalazi levo od intervala u kome se [inlmath]t[/inlmath] može naći, znači da se u tom intervalu nalazi desni krak parabole, koji je rastući; prema tome, minimalna vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[−1,1\right][/inlmath] biće jednaka vrednosti funkcije na levoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]−1[/inlmath].

Hmmm... jasno mi je sve do "minimalna vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[−1,1\right][/inlmath] biće jednaka vrednosti funkcije na levoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]−1[/inlmath].". Nacrtao sam grafik da probam da skontam, mada ne razumem.

Što se tiče onog mog metoda, to je drugu palo na pamet, posle je probao i sa jedinicom, kao maksimalnom vrednošću i dobio tačno rešenje, pa smo pretpostavili da može i tako, bez detaljnijeg objašnjenja

stevan95 je napisao:Hmmm... jasno mi je sve do "minimalna vrednost funkcije na intervalu [inlmath]\left[−1,1\right][/inlmath] biće jednaka vrednosti funkcije na levoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]−1[/inlmath].". Nacrtao sam grafik da probam da skontam, mada ne razumem.

Ovo bi bio taj grafik:


Zelenkastom bojom sam obeležio interval unutar kojeg se mora naći vrednost [inlmath]t[/inlmath] (tj. interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]). Kao što se vidi, funkcija [inlmath]t^2+4t+8[/inlmath] je unutar tog intervala monotono rastuća, kao posledica toga što se teme (minimum) nalazi levo od tog intervala. Pa, ako je funkcija unutar tog intervala monotono rastuća, gde se onda mora nalaziti minimalna vrednost funkcije unutar tog intervala? Naravno, mora se nalaziti na levoj granici intervala, tj. u tački [inlmath]-1[/inlmath].

stevan95 je napisao:Što se tiče onog mog metoda, to je drugu palo na pamet, posle je probao i sa jedinicom, kao maksimalnom vrednošću i dobio tačno rešenje, pa smo pretpostavili da može i tako, bez detaljnijeg objašnjenja

Pa, ovde se sasvim slučajno tako potrefilo da dobijete tačno rešenje, jer je funkcija po [inlmath]t[/inlmath], tj. po [inlmath]\sin x[/inlmath], monotono rastuća unutar intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath]. Ali, vraga bi vam ispalo tačno da, kojim slučajem, nije monotono rastuća unutar tog intervala. Eto, pokušaj baš da primeniš taj metod na zadatak s početka ove teme, tj. na [inlmath]f\left(x\right)=\sin^2 x+\sin x-2[/inlmath], pa će biti op-cvrc. Ili, još lepše: uzmi funkciju [inlmath]\sin^2x-4\sin x+8[/inlmath], koja se od ove u tvom zadatku razlikuje samo po tome što joj znak koeficijenta uz [inlmath]\sin x[/inlmath] nije plus, već minus. Ako bismo kod nje [inlmath]\sin x[/inlmath] zamenili sa [inlmath]-1[/inlmath], ne bismo dobili minimalnu, već naprotiv, maximalnu vrednost. I, obratno – Ako bismo [inlmath]\sin x[/inlmath] zamenili sa [inlmath]1[/inlmath], ne bismo dobili maximalnu, već minimalnu vrednost. Zašto? Zato što bi, uz smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath] i svođenje te funkcije na [inlmath]t^2-4t+8[/inlmath], to bila funkcija koja bi prethodnoj funkciji, [inlmath]t^2+4t+8[/inlmath], bila simetrična u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, zbog suprotnog znaka koeficijenta uz linearni član. I, pošto je simetrična u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, znači da njeno teme neće biti u tački [inlmath]-2[/inlmath], već u tački [inlmath]2[/inlmath], koja se nalazi desno od intervala [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] u kojem [inlmath]t[/inlmath] može imati vrednost, što znaći da će u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] funkcija biti monotono opadajuća, pa će se njen maximum nalaziti u levoj granici intervala, tj. u [inlmath]-1[/inlmath], a njen minimum u desnoj granici intervala, tj u [inlmath]1[/inlmath].

O, hvala na opširnom objašnjenju i grafiku

Dakle, generalno, sve se svodi na određivanje pozicije temena u odnosu na interval, iz čega nužno sledi šta je minimum, a šta maksimum?

stevan95 je napisao:Dakle, generalno, sve se svodi na određivanje pozicije temena u odnosu na interval, iz čega nužno sledi šta je minimum, a šta maksimum?

Pa, i ne baš generalno. Ovako možemo nalaziti min i max kvadratne funkcije samo ako je teme funkcije van intrvala koji nas interesuje (slučaj je takav da funkcija monotono raste ili opada na tom intervalu). Kod ostalih slučajeva (kada nemamo monotonost) najbolje je tražiti prvi izvod ili iskoristiti već poznate formule za min/max ...

U slučaju kada teme parabole pripada intervalu u kojem se nalazi [inlmath]t[/inlmath], tada (ja ću sad pričati za slučaj da teme predstavlja minimum, a sličan je rezon i onda kada teme predstavlja maximum) minimalnu vrednost tražimo kao da i ne postoji taj uslov pripadnosti intervalu, budući da će tada minimalna vrednost funkcije na celom slupu [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] automatski biti i minimalna vrednost funkcije na posmatranom intervalu. Međutim, s maximalnom vrednošću funkcije je u tom slučaju nešto drugačija priča (a bilo je dosad zadataka u kojima se i to tražilo). Tada, pošto se minimum parabole nalazi unutar posmatranog intervala, max vrednost unutar tog intervala sigurno će se nalaziti na jednoj od granica tog intervala – ili na levoj, ili na desnoj, ali, ne znamo na kojoj. Da bismo utvrdili na kojoj od te dve granice se nalazi max vrednost, nađemo vrednost funkcije i na jednoj i na drugoj granici, pa uporedimo te dve vrednosti i koja je veća, ta predstavlja max vrednost u tom intervalu. Postoji i drugi način, malo intuitivniji – pošto je parabola simetrična, logično je da će max vrednost unutar intervala biti na onoj granici intervala koja je udaljenija od temena (tj. minimuma) parabole.

A koja je razlika između lokalnog minimuma i minimalne vrednosti?

Otprilike kao što je razlika između vrha neke planine i najvišeg vrha na svetu.
Tačka lokalnog minimuma je, da se slobodnije izrazim, ona tačka od koje, bilo da kreneš levo ili desno, uvek se penješ. Ali ona ne mora biti i minimalna vrednost.

Prikazaću neke primere.
Primer 1:


Kod ove funkcije lokalni minimumi su u tačkama [inlmath]x_1[/inlmath], [inlmath]x_2[/inlmath] i [inlmath]x_3[/inlmath]. Međutim, samo [inlmath]x_3[/inlmath] predstavlja minimalnu vrednost na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath], jer je [inlmath]f(x_3)[/inlmath] manje i od [inlmath]f(x_1)[/inlmath] i od [inlmath]f(x_2)[/inlmath].

Primer 2:


Ovo je primer funkcije kod koje se minimalna vrednost ne nalazi ni u jednoj od tačaka lokalnih minimuma ([inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath]), već se nalazi u nekoj od granica intervala. Kako je [inlmath]f(b)[/inlmath] manje i od [inlmath]f(a)[/inlmath] i od [inlmath]f(x_1)[/inlmath] i od [inlmath]f(x_2)[/inlmath], to se minimalna vrednost funkcije nalazi u desnoj granici posmatranog intervala, u tački [inlmath]x=b[/inlmath].

Primer 3:
Prethodna dva primera su se odnosila na neprekidne funkcije. U slučaju da funkcija ima prekid, tada „kandidati“ za minimalnu vrednost, pored tačaka lokalnih minimuma i granica posmatranog intervala, mogu biti i tačke prekida (ukoliko je funkcija u njima definisana):


Kod ove fukcije imamo lokalni minimum u tački [inlmath]x_2[/inlmath], međutim, u tački prekida [inlmath]x_1[/inlmath] vrednost funkcije je manja nego u tački [inlmath]x_2[/inlmath] (a takođe manja nego i na granicama intervala), tako da u tački [inlmath]x_1[/inlmath] funkcija ima minimalnu vrednost na ovom intervalu.

Možeš pogledati i ovaj prošlonedeljni post.