Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

Postod Acim » Sreda, 28. April 2021, 20:49

Prijemni ispit FON – 28. jun 2011.
16. zadatak


Zbir svih rešenja jednačine [inlmath]\cos2x+\sin^2x=\frac{3}{4}[/inlmath] koja pripadaju intervalu [inlmath]\left(0,2\pi\right)[/inlmath] je;
Tačan odgovor je [inlmath]4\pi[/inlmath]

Ja sve vreme dobijam da mi je zbir [inlmath]3\pi[/inlmath]

Korišćenjem odgovarajućih identiteta, dobijam;
[dispmath]\cos^2x=\frac{3}{4}\\
\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}[/dispmath] Za [inlmath]\cos x=\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath], prvo rešenje je [inlmath]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i jedina vrednost [inlmath]k=0[/inlmath] ispunjava postavljeni interval, tj. jedino rešenje za taj slučaj je [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath]
Drugo rešenje je [inlmath]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath], gde su moguća rešenja [inlmath]\frac{-\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath]

Drugi slučaj ([inlmath]\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]) dobijamo [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{-5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath]
Za prvo rešenje jedina vrednost koja zadovoljava interval je [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}[/inlmath] a za drugu [inlmath]x=-\frac{5\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{7\pi}{6}[/inlmath]

Sabiranjem ovih vrednosti dobijam gore navedenu pogrešnu vrednost. Ne mogu da uočim gde sam napravio propust.
Hvala unapred na odgovoru.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 98
Zahvalio se: 52 puta
Pohvaljen: 14 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

Postod Vivienne » Sreda, 28. April 2021, 21:12

Na datom intervalu rešenja su samo [inlmath]\frac{\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath], [inlmath]\frac{7\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]\frac{11\pi}{6}[/inlmath]. Evo kako je možda najlakše da utvrdiš, nacrtaj brojevnu pravu i unesi te vrednosti i samo uzmi one koje su od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath] tako ćeš videti da tu ne spadaju negativna rešenja.
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 35 puta

  • +2

Re: Trigonometrijska jednačina – prijemni FON 2011.

Postod Daniel » Četvrtak, 29. April 2021, 00:23

A i bez crtanja brojevne prave jasno je da negativne vrednosti ne mogu pripadati intervalu [inlmath](0,2\pi)[/inlmath]. Donja granica intervala je nula, dakle, sve vrednosti tog intervala moraju biti veće od nule, tj. ne mogu biti negativne.

Znači, suvišna su rešenja [inlmath]-\frac{\pi}{6}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{5\pi}{6}[/inlmath]. I zaista, zbir ovih suvišnih rešenja je [inlmath]-\pi[/inlmath], a upravo za toliko se tvoj rezultat i razlikuje od tačnog.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8652
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4697 puta
Pohvaljen: 4607 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 11. Maj 2021, 04:07 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs