Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Trigonometrijski izraz – prvi probni prijemni FON 2010.

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Trigonometrijski izraz – prvi probni prijemni FON 2010.

Postod Mika » Sreda, 07. Jun 2023, 13:43

Zadatak sa prvog probnog prijemnog FON 2010:

[inlmath]13.[/inlmath] Ako je [inlmath]\sin2\alpha=\frac{2}{3}[/inlmath], onda je vrednost izraza [inlmath]\sin^6\alpha+\cos^6\alpha[/inlmath] jednaka?

Tačan odgovor je pod [inlmath]C)[/inlmath] [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath]

Probao sam da radim kao zbir kubova kvadrata iz čega dobijem: [inlmath]\sin^4\frac{2\alpha}{2}+\cos^4\frac{2\alpha}{2}-\frac{1}{4}\cdot4\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^4\frac{2\alpha}{2}+\cos^4\frac{2\alpha}{2}-\frac{1}{6}[/inlmath]

Ovo [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath] sam dobio preko kvadriranja jednačine [inlmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/inlmath]

Ako sam na dobrom putu treba mi pomoć oko "ratosiljanja" od ovih četvrtih stepena (možda može da se ide preko polovine ugla ali ne znam kako :unsure:)
Mika  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Trigonometrijski izraz – prvi probni prijemni FON 2010.

Postod Fare » Sreda, 07. Jun 2023, 20:32

Dobro si počeo što se tiče kubova. Mislim da ti nisu potrebne funkcije polovine ugla [inlmath]\alpha[/inlmath], već dvostrukog ugla. Što se tiče četvrtih stepena:
[dispmath]\sin^4\alpha+\cos^4\alpha=\left( \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \right)^2-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1-\frac{1}{2}\sin^2{2\alpha}[/dispmath]
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

  • +1

Re: Trigonometrijski izraz – prvi probni prijemni FON 2010.

Postod Daniel » Četvrtak, 08. Jun 2023, 05:23

Mika je napisao:Ovo [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath] sam dobio preko kvadriranja jednačine [inlmath]\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha[/inlmath]

Ovde imaš grešku, [inlmath]\frac{1}{4}\sin^22\alpha[/inlmath] je jednako [inlmath]\frac{1}{9}[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath].

Mika je napisao:(možda može da se ide preko polovine ugla ali ne znam kako :unsure:)

Može i preko polovine ugla (to, eto, može da bude alternativni način):
[dispmath]\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=\left(\frac{1-\cos2\alpha}{2}\right)^3+\left(\frac{1+\cos2\alpha}{2}\right)^3=\\
=\frac{1}{8}\left(1-\cancel{3\cos2\alpha}+3\cos^22\alpha-\bcancel{\cos^32\alpha}+1+\cancel{3\cos2\alpha}+3\cos^22\alpha+\bcancel{\cos^32\alpha}\right)=\\
=\frac{1}{4}\left(1+3\cos^22\alpha\right)=\frac{1}{4}\left(4-3\sin^22\alpha\right)=1-\frac{3}{4}\sin^22\alpha=\cdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Trigonometrijski izraz – prvi probni prijemni FON 2010.

Postod Mika » Četvrtak, 08. Jun 2023, 18:35

@Fare
Dosta elegantno rešenje, nisam dosad bio naleteo na četvrti stepen sinusa i kosinusa, ali kako radim više zadataka iz trigonometrije sve se više javljaju pa ću znati da isplivam iz ovakvih izraza.

Hvala puno!



@Daniel
Znači može i po mojoj zamisli samo je veća gnjavaža što se tiče računa i zapisa, ali je interesantno što se kod trigonometrije može u velikom broju slučajeva naći rešenje iz više formula.

Ova greška za [inlmath]-\frac{1}{6}[/inlmath] ne sme da se dešava na prijemnom naravno (izazvana višesatnim vežbanjem).

Svakako, hvala na prezentaciji alternative.
Mika  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 23:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs