Pozdrav!
Imam jedno pitanje u vezi zadatka sa trigonometrijskom jednacinom [inlmath]2\cot\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2=0[/inlmath], u sustini mi je zadatak jasan, ali me zanima da li je ispravno da krajnje resenje bude [inlmath]\frac{5\pi}{4}+k\pi[/inlmath] i da li je isto ispravno ako umesto toga napisem da je [inlmath]x=\frac{9\pi}{4}+k\pi[/inlmath], posto kad se nacrta trigonometrijski krug to je drugo resenje? I da li je kod jednacina sa tangensom i kotangensom dovoljno da se navede samo jedno resenje?

Pozdrav,
Jeste, u redu je. Prvo, preciznije je reći: rešenja su oblika [inlmath]\frac{5\pi}{4}+k\pi[/inlmath] gde je [inlmath]k\in \mathbb Z[/inlmath] (dakle moramo navesti šta tačno [inlmath]k[/inlmath] predstavlja).

Prema tome izraz [dispmath]\frac{5\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb Z[/dispmath] predstavlja brojeve ...[inlmath]\frac{5\pi}{4} - \pi[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{4} + \pi[/inlmath], [inlmath]\frac{5\pi}{4} + 2\pi[/inlmath], itd...

Ako je [inlmath]x = \frac{5\pi}{4}+k_0\pi[/inlmath] neko rešenje za neko fiksirano [inlmath]k_0[/inlmath], tada je [dispmath]x =\frac{5\pi}{4} + \pi - \pi + k_0\pi =\frac{5\pi}{4} + \pi + (k_0 - 1)\pi = \frac{9\pi}{4} + (k_0 - 1)\pi,[/dispmath] gde je [inlmath]k_0 -1[/inlmath] takođe ceo broj. Vidimo da je nebitno kako je to rešenje prezentovano.


Što se tiče drugog pitanja: Ako je navedeno da se traže rešenja (rešenje) u nekom određenom intervalu, tada navodiš samo ta rešenja. Ako se traže sva rešenja u [inlmath]\mathbb R[/inlmath], tada je dovoljno da navedeš samo jedan opšti oblik rešenja (npr. [inlmath]\frac{5\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb Z[/inlmath]), nebitno koji (pod uslovom da taj opšti oblik obuhvata sva rešenja). Ovo važi za sve trigonometrijske jednačine. Međutim za neke jednačine (pogotovo one sa sinusom i kosinusom) je teško predstaviti sa jednim opštim oblikom sva rešenja, te se onda tada navode dva (ili više) opšta oblika.

U redu, hvala, sad mi je jasnije.
Imam samo jos jedno pitanje vezano za sledeci zadatak: [inlmath]\tan x-\sqrt3\leq0[/inlmath]
Nije mi jasno kako da predstavim resenja na trigonometrijskom krugu i da zapisem interval resenja?

Hajde napiši tvoj postupak i razmišljanja.

Hint: Za početak reši odgovarajuću jednačinu. Možeš gledati trigonometrijsku kružnicu, ali mislim da je lakše da nacrtaš grafik tangensa na intervalu [inlmath](-\pi/2, \pi/2)[/inlmath], i proveriš gde je grafik ispod prave [inlmath]y=\sqrt 3[/inlmath]. Dalje ćeš lako produžiti po periodičnosti.

Ovako: [inlmath]\tan x-\sqrt3\leq0[/inlmath]
[inlmath]\tan x\leq\sqrt3[/inlmath], odakle sledi da je ugao alfa [inlmath]60^\circ[/inlmath]. Nacrtala sam i krug, ali ne znam kako da odredim interval resenja koji je manji od [inlmath]\sqrt3[/inlmath], i kako da ga predstavim na trigonometrijskom krugu, tu sam se zbunila...

Nije [inlmath]\alpha[/inlmath] nego [inlmath]x[/inlmath], nisi napisala jednačinu nego nejednačinu.

Dovoljno je znati da na intervalu [inlmath](- 90^\circ, 90^\circ)[/inlmath] tangens raste od [inlmath]-\infty[/inlmath] ka [inlmath]\infty[/inlmath]. Prema tome, za [inlmath]x\in (-90^\circ, 60^\circ][/inlmath] važiće [inlmath]\tan x-\sqrt3\leq0[/inlmath]. Zbog periodičnosti sledi da je [inlmath]\tan x-\sqrt3\leq0[/inlmath] za [inlmath]x\in (-90^\circ + k180^\circ, 60^\circ + k180^\circ][/inlmath] gde [inlmath]k\in \mathbb Z[/inlmath]