Fali dvojka [inlmath]2x[/inlmath] a ne [inlmath]x[/inlmath] mislio sam na [inlmath]360[/inlmath]. Ali ipak je to bio pad koncentracije.

Sinisa je napisao:uvrsti [inlmath]k=1[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i uvrsti [inlmath]k=3[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i vidjeces isto tako je i za [inlmath]k=5;7;9\ldots[/inlmath]

Ili, malo uopštenije:
– uvrštavanjem [inlmath]k=5n+1[/inlmath] u [inlmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] dobije se [inlmath]x=\left(4n+1\right)\pi[/inlmath]
– uvrštavanjem [inlmath]k=5n+3[/inlmath] u [inlmath]x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] dobije se [inlmath]x=\left(4n+3\right)\pi[/inlmath]
Ta dva skupa rešenja, kad se objedine, daju skup rešenja [inlmath]x=\left(2n+1\right)\pi[/inlmath], tj. neparne umnoške broja [inlmath]\pi[/inlmath].
I, kad nađemo uniju tog skupa rešenja i skupa rešenja [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] (parni umnošci broja [inlmath]\pi[/inlmath]), dobijamo skup svih celobrojnih umnožaka broja [inlmath]\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=k\pi[/inlmath].

---

Što se tiče tvog postupka, @Gamma,

Gamma je napisao:[dispmath]\cos\frac{5x}{2}=0\;\lor\;-\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=2k\pi[/dispmath]

rešenje jednačine [inlmath]\cos\alpha=0[/inlmath] nema potrebe da pišeš kao [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\lor\;\alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], već možeš to odmah objediniti, a i videti s trigonometrijske kružnice, da je [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Eto, mnogo jednostavniji oblik. I kad bi u ovom primeru rešenje napisao na taj način, dobio bi
[dispmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}[/dispmath]
I, kada u to rešenje uvrstiš [inlmath]k=5n+2[/inlmath], dobićeš skup rešenja [inlmath]x=\left(2n+1\right)\pi[/inlmath]...

I, imaš neke greške u postupku:

Gamma je napisao:[dispmath]\sin x\left(-4\cos^2x+2\cos x+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=\frac{\color{red}\sqrt5-1}{4}\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5+1}{4}[/dispmath]

Kao rešenja kvadratne jednačine po kosinusu treba da se dobiju [inlmath]\cos x=\frac{1\pm\sqrt5}{4}[/inlmath].

Gamma je napisao:[dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5-1}{4}\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5+1}{4}[/dispmath][dispmath]x=k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{\sqrt5+1}{4}+2k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{1-\sqrt5}{4}+2k\pi[/dispmath]

Ako je [inlmath]\cos x=a[/inlmath], tada [inlmath]x=\arccos a+2k\pi[/inlmath] nije jedini skup rešenja. Nacrtaj trigonometrijsku kružnicu. Drugi skup rešenja će biti [inlmath]x=-\arccos a+2k\pi[/inlmath].

Možda nije loše pogledati i sliku u vezi sa zadatkom: