MATEMANIJA

Zadatak glasi [dispmath]\sin x+\sin 9x=\sqrt 2\cos 4x[/dispmath]
ja sam ga resio prvo ovako [inlmath]2\sin 5x\cos(-4x)=\sqrt 2\cos 4x[/inlmath] pa [inlmath]2\sin 5x\cos(4x)=\sqrt 2\cos 4x[/inlmath] pa sam obe strane pomnozio sa [inlmath]\frac{1}{\cos 4x}[/inlmath] i dobijem da je [inlmath]\sin 5x=\frac{\sqrt 2}{2}[/inlmath] i to mi da resenje [inlmath]x=\frac{\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{3\pi}{20}+\frac{2k\pi}{5}[/inlmath] ali u njihovom resenju stoji da ima i resenje [inlmath]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/inlmath] pored ta dva,onda sam skontao da gore ako ne podelim levu i desnu [inlmath]\frac{1}{\cos 4x}[/inlmath] nego to [inlmath]\sqrt 2\cos 4x[/inlmath] prebacim levo dobijem [inlmath]\cos 4x\left(2\sin 5x-\sqrt 2\right)=0[/inlmath] sto mi daje tacan rezultat,sad sam zbunjen jer mi ono sto sam gore uradio sasvim ima smisla a ne daje sva resenja pa me interesuje gde je ovde tacno problem,jesam li napravio neku gresku kada sam prebacivao taj kosinus ili ...?

2. zadatak [dispmath]\sqrt 3\sin x-\cos x=-1[/dispmath]
moj postupak ,1. pomnozim sa [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]
[dispmath]\frac{\sqrt 3\sin x}{2}-\frac{\cos x}{2}=-\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{\cos x}{2}-\frac{\sqrt 3\sin x}{2}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\frac{\pi}{6}\cos x-\sin x\cos\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{\pi}{6}-x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\quad\land\quad\frac{\pi}{6}-x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/dispmath]
dobijem
[dispmath]x=-2k\pi\quad\land\quad x=\frac{2\pi}{3}-2k\pi[/dispmath]
ali kod njih je [dispmath]x=2k\pi\quad\land\quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]
znam da minusi nemaju veze kod [inlmath]2k[/inlmath] ali odakle im to [inlmath]\frac{4\pi}{3}[/inlmath] moja greska ili njihova?

e pozdrav, sto se tiče tog drugog zadatka, tu ima vise nacina da se uradi, moze da se uvede univerzalna trigonometrijska smena [inlmath]\mathrm{tg}\frac{x}{2}=t,\;\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2 },\;\sin x=\frac{2t}{1+t^2}[/inlmath] i tako ja uspem da dobijem dobar rezultat, ali pored tog postoji jos mogucnost da se uvede pomocni argument, a i moze da se izrazi [inlmath]\sqrt{3}\sin x-1=\cos x[/inlmath], i onda se to zameni u [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath], i sad jedini problem je to sto ja kada radim ne dobijem uvek ista resenja u zavisnosti od toga koji nacin od ta tri koristim.
kod ovog zadatka sam ja tako izrazio i ubacio u [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath] ali dobijem [inlmath]k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{3}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath]

3. da li je ovo dobro udradjeno
[dispmath]3\sin\left(\frac{\pi}{2}+x\right)-4\sin(\pi+x)\sin\left(\frac{5\pi}{2}+x\right)+8\left(\cos\frac{x}{2}\right)^2=4\\3\cos x-4(\sin\pi\cos x+\sin x\cos\pi)\left(\sin\frac{5\pi}{2}\cos x+\sin x\cos\frac{5\pi}{2}\right)+4(1+\cos x)=4\\3\cos x-4(-\sin x)(\cos x)+4\cos x+4=4\\
7\cos x+4\sin x\cos x=0\\
\cos x(7+\sin 4)=0\\
\cos x=0 \ \land \ \sin x=-\frac{7}{4}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath] jel moze za taj sinus da se nadje resenje ?ili nemoze jer je [inlmath]<-1[/inlmath]?

resenje je dobro (bar ja mislim) i da odbacije se to drugo resenje

samo je uslov manje ili jednako jedinici

jovica je napisao: a i moze da se izrazi [inlmath]\sqrt{3}\sin x-1=\cos x[/inlmath]

valjda ovde ide [inlmath]\sqrt{3}\sin x+1=\cos x[/inlmath],svejedno bi trebalo da bude kojim nacinom uvek bi trebao da se dobije isti rezultat koliko ja kontam.E a de si nasao tu univerzalnu trig smenu,ja je 1. vidim ?

1) Kada jednačinu deliš nekim brojem onda moraš pretpostaviti da je taj broj različit od nule, budući da deljenje nulom ne bi imalo smisla. Tako, deleći dati izraz sa [inlmath]\cos 4x[/inlmath] pretpostavljaš da je [inlmath]\cos 4x\neq 0[/inlmath], što svakako ne važi za sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath], i zbog toga gubiš određena rešenja. Kako bih to malo bolje ilustrovao, navešću ti sledeću jednačinu:
[dispmath]2\cos 4x=7\cos 4x[/dispmath]
Ako podeliš jednačinu sa [inlmath]\cos 4x\neq 0[/inlmath] dobijaš [inlmath]2=5[/inlmath], što je nemoguće i možeš zaključiti da nema rešenja. A rešenja ima, i to baš u slučaju kada je [inlmath]\cos 4x=0[/inlmath].
Kada bismo prebacili kosinuse na jednu stranu, dobili bismo [inlmath]5\cos 4x=0[/inlmath], tj. [inlmath]\cos 4x=0[/inlmath]

2) Dobro si radio. S tim što iz [inlmath]\quad\frac{\pi}{6}-x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] ne sledi [inlmath]\quad x=\frac{2\pi}{3}-2k\pi[/inlmath], već [inlmath]-x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], što dalje daje [inlmath]x=-\frac{2\pi}{3}-2k\pi[/inlmath].
Ovo rešenje je pri tom ekvivalentno njihovom. Naime:
[dispmath]x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi-2(k+1)\pi=\frac{4\pi}{3}-2(k+1)\pi=\frac{4\pi}{3}+2m\pi[/dispmath]
3) Ne, kosinus ne može da ima vrednosti van intervala [inlmath][-1,1][/inlmath], pa ne ispituješ taj slučaj.

znaci milovane, sto se tice toga pod 1) uvek moram prebacivati i izvlaciti ispred zagrade da ne bih gubio moguca resenja? i jel se moze nekako doci do tacnog resenja cak i ako podelimo ?

Može se doći do tačnog rešenja i kada deliš, ako vrednost s kojom deliš ne može biti nula. Recimo, ako bi mogao da podeliš neku jednačinu sa [inlmath]\cos^2x+3[/inlmath] jer znaš da ovaj izraz ne može biti jednak nuli.

Onda kada postoji mogućnost da broj s kojim kratiš jeste nula, kao što je bilo u ovom slučaju (jer je [inlmath]\cos 4x[/inlmath] za određene vrednosti jednak nuli) ćeš da izgubiš rešenja. Zato je bolja varijanta prebaciti sve na jednu stranu, jer tada nećeš pogrešiti ni u kom od ta dva slučaja.

samo jos jedno pitanje, kod jednacina tipa [inlmath]a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0[/inlmath], taj tp se resava tako sto podelimo sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] i radimo islov da to nije jednako nuli, ali, vec si ranije rekao

Ako podeliš jednačinu sa [inlmath]\cos 4x\neq 0[/inlmath] dobijaš [inlmath]2=5[/inlmath], što je nemoguće i možeš zaključiti da nema rešenja. A rešenja ima, i to baš u slučaju kada je [inlmath]\cos 4x=0[/inlmath].

, samo me interesuje, da li je moguce da se pri deljenju gube neka resenja, ili se to ne desava u ovakvim jednacinama ?

Vrati [inlmath]\cos^2x=0[/inlmath] (tj. [inlmath]\cos x=0[/inlmath]) u tu jednačinu, pa sam proceni.

Jednačina se onda svede na [inlmath]a\sin^2x=0[/inlmath]. S obzirom na to da je [inlmath]\sin^2x=1[/inlmath], znači da je [inlmath]a=0[/inlmath].
Otuda, deljenjem sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] ovde ne gubiš rešenje u slučaju da [inlmath]a\neq 0[/inlmath], ali kada je [inlmath]a=0[/inlmath] onda da.

Pade mi sad na pamet da postavim ovakvo pitanje:
[dispmath]a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0[/dispmath]
Ako bismo izvukli [inlmath]\cos^2x[/inlmath] ispred zagrade:
[dispmath]\cos^2x\left(a\:\mathrm{tg}^2x+b\:\mathrm{tg}\:x+c\right)=0[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\cos^2x=0\;\lor\;a\:\mathrm{tg}^2x+b\:\mathrm{tg}\:x+c=0[/dispmath]
ispada da je [inlmath]\cos x=0[/inlmath] uvek jedno od rešenja, nezavisno od vrednosti parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Možeš li da uočiš u kom koraku sam (svesno) napravio grešku?

pa ako sam dobro skapirao, [inlmath]\cos x\ne 0[/inlmath] zbog [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath]
da da, skontao sam Milovane

jovica je napisao:pa ako sam dobro skapirao, [inlmath]\cos x\ne 0[/inlmath] zbog [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath]

Zapravo, kosinus može biti nula, ali bi tangens tada bio nedefinisan, pa bismo izvlačenjem kosinusa ispred zagrade i njegovim izjednačavanjem s nulom imali množenje nule beskonačnom vrednošću, što kao proizvod ne bi dalo nulu već neodređen izraz, tako da bi u tom koraku bila greška.

pa da na to sam mislio, da zato ne moze biti nula

A da li mogu da resavam tako sto cu podeliti celu jednacinu, ali da pri tom ispitam svako resenje koje gubim prilikom deljenja cele jednacine tako sto cu ga ubaciti u pocetnu jednacinu i videti da li odgovara. Ako odgovara da ga pridruzim konacnom resenju, a ako ne odgovara da ga odbacim. Da li je to ispravno tako? Po meni, trebalo bi da jeste, a i u nekim zbirkama sam video da rade na takav nacin..

Ja se slazem sa tobom i ja sam naolazio.u zbirkama na ovakve jednacine.Cini mi se sa se zovu homogene.i da se bas resavaju deljenjem sa necim, ali postavljajuci istovremeno nekoliko uslova. Alo nisam siguran, sacekajmo odgovore Daniela i druzine

Tako je, homogene su jedne od tih nejednacina.
Takodje imam jos jedno pitanje za nejednacinu
[inlmath]\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1[/inlmath], Prvo odredim oblast definisanosti koja je [inlmath]x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], onda uvrstavanjem [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nalazim da to nisu resenja, sto znaci da mi ostaje [inlmath]x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath]. Na osnovu toga ,posto su i sinus i kosinus pozitivne funkcije u tom intervalu, zakljucujemo da [inlmath]0<\sin x<1[/inlmath] i [inlmath]0<\cos x<1[/inlmath]. Kada uradim ove uslove i odradim njihovu uniju dobijem [inlmath]x\in\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] sto znaci da su resenja za [inlmath]x[/inlmath] sve vrednosti iz prvog kvadranta, sto mi izgleda i logicno s obzirom na to da je sinus rastuca funkcija u prvom kvadrantu dok je kosinus opadajuca. Je l' dobro to uradjeno?

nikolalosic je napisao:A da li mogu da resavam tako sto cu podeliti celu jednacinu, ali da pri tom ispitam svako resenje koje gubim prilikom deljenja cele jednacine tako sto cu ga ubaciti u pocetnu jednacinu i videti da li odgovara. Ako odgovara da ga pridruzim konacnom resenju, a ako ne odgovara da ga odbacim. Da li je to ispravno tako? Po meni, trebalo bi da jeste, a i u nekim zbirkama sam video da rade na takav nacin..

Taj način je ispravan, a i Milovan upravo i pokaza da se ovaj zadatak tako radi.

nikolalosic je napisao:Takodje imam jos jedno pitanje za nejednacinu
[inlmath]\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}>1[/inlmath]

Rešenja koja si dobio su OK, ali ne uočavam kakve veze u celoj ovoj priči ima to što je sinus u tom intervalu rastuć a kosinus opadajuć?
Inače, imali smo baš tu nejednačinu, prekjuče. Ovde.

Ne znam, izgleda nikakve.. Malo me je zabunio postupak u zbirci, nesto su ga zakomplikovali.. Sad mi je jasnije..

Zadatak glasi [inlmath]\cos^2x-\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}[/inlmath]. Samo se vrtim u krug, ne ide pa ne ide.. Pretpostavljam da nesto ocigledno ne primecujem..

[inlmath]\cos^2x[/inlmath] izrazi preko kosinusa dvostrukog ugla, primenivši formulu [inlmath]\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}[/inlmath]. Zatim rešavaj jednačinu po [inlmath]2x[/inlmath]. Dalje je lako.