MATEMANIJA

zadatak glasi [inlmath]\sqrt 3\sin x-\cos x=-1[/inlmath] i sad ga ja resavam tako sto napravim sistem zajedno sa [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath] izrazim sinus preko kosinusa i ubacim u tu drugu i dobijem [inlmath]3\sin^2x+2\sqrt 3\sin x+1+\sin2^x-1=0[/inlmath] , i onda [inlmath]2\sin x\left(2\sin x+\sqrt 3\right)=0[/inlmath], i onda mi je svako posebno jednak nuli , tj [inlmath]2\sin x=0[/inlmath] i [inlmath]\sin x=\frac{-\sqrt 3}{2}[/inlmath] , ali u resenju se navodi [inlmath]2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], i sad ne kapiram, jel greska u mom postupku, ili se to resenje koje sam ja dobio nekako svede na to u zbirci ?

jos nesto kod zadatka
1) [inlmath]2-3\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos 2x[/inlmath] resenja su [inlmath]\frac{-\pi}{6}+2k_1\pi,\;\frac{-5\pi}{6}+2k_2\pi,\;\frac{3\pi}{2}+2k_3\pi[/inlmath], zasto se [inlmath]k[/inlmath] razlikuje? i evo jos jedan takav zadatak
2) [inlmath]2+\sin^2x=\cos^2x+3\sin x[/inlmath], i sad resenje u zbirci je [inlmath]x=\frac{\pi}{6}+2l\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}+2m\pi[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath] i [inlmath]m[/inlmath] pripaduju skupu celih br. i sad mi nije jasno ako se tu zaista razlikuju [inlmath]k[/inlmath], kako se to prepoznaje, kad mogu da stavim svuda isto [inlmath]k[/inlmath] a kada moram drugacije ?

Možeš da pišeš i isto [inlmath]k[/inlmath], ako ti nisu naglasili da moraš ovako razdvajati, ali rekao bih da nema neke potrebe za tim, s obzirom na to da svi ti brojevi u stvari primaju iste vrednosti, i da se tako priča svodi na isto.

U drugom ti inače nedostaje jedno rešenje:
[dispmath]2+\sin^2x=\cos^2x+3\sin x[/dispmath][dispmath]2+\sin^2x=1-\sin^2x+3\sin x[/dispmath][dispmath]2\sin^2x-3\sin x+1=0[/dispmath]
Dalje je [inlmath]\sin x=1[/inlmath] ili [inlmath]\sin x=\frac12[/inlmath].
Iz prve je rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath]
Iz druge je [inlmath]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/inlmath].

aham, hvala milovane imas li neku ideju sta sam zeznuo u zadatku u prvom postu ?

Drugo rešenje i ti dobijaš. Pretpostavljam da te buni to što je [inlmath]2k\pi[/inlmath] rešenje, a ne [inlmath]k\pi[/inlmath].

Obrati pažnju na to da je polazna jednačina [inlmath]\sqrt 3\sin x-\cos x=-1[/inlmath]. Ako sad staviš [inlmath]\sin x=0[/inlmath] u to, dobićeš da je [inlmath]-\cos x=-1[/inlmath], odnosno [inlmath]\cos x=1[/inlmath]. Da li iz [inlmath]\sin x=0[/inlmath] sledi i [inlmath]\cos x=1[/inlmath]? Ne, već može biti i da je [inlmath]\cos x=-1[/inlmath]. Međutim, to ne bi zadovoljilo polaznu jednačinu. Otuda, rešenja jednačine treba tražiti iz uslova [inlmath]\cos x=1[/inlmath]. I to je onda upravo [inlmath]2k\pi[/inlmath].

I jedna mala napomena za Latex: stavljaj \ ispred trigonometrijskih funkcija kada ih pišeš da bi ispadalo čitkije. Dakle ne sin x nego \sin x.

ahm, dobro hvala, kod [inlmath]\sin x=\frac{-\sqrt 3}{2}[/inlmath] dobije se i ugao [inlmath]x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi[/inlmath], ali kada se ubaci u pocetnu ne odgovara, uglavnom da ne bih tako prevideo neki ugao onda je bolje da resenja koja se mogu napisti u untervalu [inlmath]+k\pi[/inlmath] ipak napisem u intervalu[inlmath]+2k\pi[/inlmath] i da onda svako pojedinacno ubacim u pocetnu. ispravi me ako gresim?

S obzirom na to da je [inlmath]\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/inlmath], rešenje je [inlmath]x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/inlmath].

Što se ovog zadnjeg pitanja tiče, nisam baš siguran da te razumem.

kod tog prvog dela sam mislio da drugi ugao takodje daje isti rezultat kao i prvi, [inlmath]\sin\frac{5\pi}{3}=\frac{-\sqrt 3}{2}[/inlmath] ali da ne odgovara pocetnoj jednacini.
u tom drugom delu sam mislio na to da je kada resavamo neku jednacinu i dodjemo na kraju do npr. [inlmath]\sin x=0[/inlmath] bolje pisati [inlmath]x_1=0+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]x_2=\pi+2k\pi[/inlmath] i da onda svako od ta dva pojedinacna proveriti u pocetnoj jednacini, nego pisati [inlmath]x=k\pi[/inlmath] da ne zaboravim da proverim drugi ugao

Da, to nisam napisao, taj ugao odbacuješ iz razloga što ne zadovoljava polaznu jednačinu.

Pokušaću da ti objasnim zašto dobijaš višak rešenja. Ti si u osnovnu trigonometrijsku jednakost uvrstio [inlmath]\cos x=\sqrt{3}\sin x+1[/inlmath]. Nakon toga si dobio ono što si dobio.
Primeti da bi do apsolutno iste jednačine došao i da si stavio [inlmath]\cos x=-\left(\sqrt{3}\sin x+1\right)[/inlmath].
Pri tom, polazna jednačina [inlmath]\sqrt 3\sin x-\cos x=-1[/inlmath] nije ista kao i jednačina [inlmath]\sqrt 3\sin x+\cos x=-1[/inlmath]
Međutim, iz obe jednačine proizilazi ovo tvoje- [inlmath]2\sin x\left(2\sin x+\sqrt 3\right)=0[/inlmath].

Otuda, rešavanjem ove jednačine ti dobijaš i rešenja polazne jednačine, ali i rešenja ove druge jednačine. Stoga je neophodno uvrstiti rešenja u polaznu jednakost kako bi se mogla napraviti razlika između rešenja koja se traže i ovih dobijenih dodatno, koja su u stvari rešenja jedne druge jednačine.

Ako ti sve ovo stvara zabunu, možda je bolje da umesto da koristiš osnovni trigonometrijski identitet ovakav tip zadatka pokušaš rešiti na neki drugi način. Recimo, ovaj konkretni primer se lako rešava ako se cela jednakost podeli sa dva i iskoristi formula za sinus razlike.

zahvaljujem, bas sam se pitao zasto ima viska resenja ne, ne stvara mi zabunu sasvim je logicno samo sam ja prevideo par stvari koje si mi sad objasnio da drugi načini su u opticaju, samo mi ovaj uvek nekako zapadne za oko