MATEMANIJA

Ako je [inlmath]\frac{\sin^4x}{a}+\frac{\cos^4x}{b}=\frac{1}{a+b},\;ab>0[/inlmath] onda je [inlmath]\frac{\sin^8x}{a^3}+\frac{\cos^8x}{b^3}=\frac{1}{(a+b)^3}[/inlmath]. Dokazati.
Krenuo sam sa idejom da prvu jednacinu resim po [inlmath]\sin^2x[/inlmath] i [inlmath]\cos^2x[/inlmath] i da zamenim u drugu.
Dakle iz ovog
[dispmath]\frac{\left(\sin^2x\right)^2}{a}+\frac{\left(1-\sin^2x\right)^2}{b}=\frac{1}{a+b}[/dispmath][dispmath]t=\sin^2x[/dispmath][dispmath]\frac{t^2}{a}+\frac{(1-t)^2}{b}=\frac{1}{a+b}[/dispmath]
I ovu jednacinu sam sveo na kvadratnu u ovom obliku
[dispmath]t^2(a+b)^2-2t\left(a^2+ab\right)+a^2=0[/dispmath]
Ovde sam zaglavio jer dobijam ovo
[dispmath]t_{1,2}=\frac{a^2+ab\pm\sqrt{-3a^4-2a^3b-3a^2b^2}}{(a+b)^2}[/dispmath]
Pomoc bi bila veoma cenjena. Hvala puno unapred.

Negde si pogrešio u pisanju izraza za [inlmath]t_{1,2}[/inlmath], treba da se dobije da je diskriminanta nula.

Čak ti nije ni potrebna formula za rešavanje kvadratne jednačine. Jednačinu
[dispmath]t^2\left(a+b\right)^2-2t\left(a^2+ab\right)+a^2=0[/dispmath]
možeš napisati ovako:
[dispmath]\left(a+b\right)^2t^2-2a\left(a+b\right)t+a^2=0\\
\left[\left(a+b\right)t\right]^2-2\cdot\left[\left(a+b\right)t\right]\cdot a+a^2=0[/dispmath]
iz čega se vidi da je u pitanju kvadrat razlike, [inlmath]x^2-2xy+y^2=\left(x-y\right)^2[/inlmath]:
[dispmath]\left[\left(a+b\right)t-a\right]^2=0[/dispmath]

Hvala puno, Daniele! Primetio sam gde imam grešku u računanju diskriminante. Math is fun!