MATEMANIJA

U pitanju je trigonometrijska jednacina meni malo neobicna predstavljena nekako preko funkcije.Uopste nemam pojma kako se rjesava ovakav tip jednacina tj. kako krenuti od cega ?

Ako je [inlmath]f(x)-2f(1-x)=x[/inlmath] ,rjesite trigonometrijsku jednacinu
[dispmath]f(\sin x+\cos x)=\frac{\sqrt 2-4}{6}[/dispmath]

Potrebno je prvo da iz [inlmath]f\left(x\right)-2f\left(1-x\right)=x[/inlmath] odrediš funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. To radiš tako što u formulu [inlmath]f\left(x\right)-2f\left(1-x\right)=x[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstiš [inlmath]1-x[/inlmath]. Dobićeš
[dispmath]f\left(1-x\right)-2f\left(1-1+x\right)=1-x[/dispmath]
to jest
[dispmath]f\left(1-x\right)-2f\left(x\right)=1-x[/dispmath]
I onda tu formulu i onu prvobitnu formulu, [inlmath]f\left(x\right)-2f\left(1-x\right)=x[/inlmath], posmatraš kao sistem od dve jednačine s dve nepoznate, pri čemu kao nepoznate posmatraš [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(1-x\right)[/inlmath], tako da odatle odrediš [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Ako si sve ispravno odradio, treba da dobiješ [inlmath]f\left(x\right)=\frac{x-2}{3}[/inlmath], a dalje znaš kako da rešavaš trigonometrijsku jednačinu...

Dobijem [inlmath]f(x)=\frac{x-2}{3}[/inlmath] sada zbunjuje me kako ovo da ubacim dole u trigonometrijsku jednacinu nije valda da ovo samo zamjenem sa [inlmath]x[/inlmath] ?

Pošto ti je dato koliko je [inlmath]f\left(\sin x+\cos x\right)[/inlmath], potrebno je da sada [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath] ubaciš umesto [inlmath]x[/inlmath] u izraz za [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath]. Dakle:
[dispmath]f\left(x\right)=\frac{x-2}{3}\quad\Rightarrow\quad f\left(\sin x+\cos x\right)=\frac{\left(\sin x+\cos x\right)-2}{3}[/dispmath]

Evo uradio sam ovo nekako pa pogledaj ako mozes.
[dispmath]f(x)=\frac{x-2}{3}[/dispmath][dispmath]f(\sin x+\cos x)=\frac{\sqrt 2-4}{6}[/dispmath][dispmath]f(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x+\cos x-2}{3}[/dispmath][dispmath]\frac{\sin x+\cos x-2}{3}=\frac{\sqrt 2-4}{6}[/dispmath][dispmath]\sin x+\cos x=\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath][dispmath]\cos x=\frac{\sqrt 2}{2}-\sin x[/dispmath][dispmath]\sqrt{1-\sin^2x}=\frac{\sqrt 2}{2}-\sin x[/dispmath][dispmath]4\sin^2x-2\sqrt 2\sin x-1=0[/dispmath]
Poslije rjesavanja ove kvadratne jednacine dobijemo dva rjesanja.

[inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}\quad\cancel{x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi}[/inlmath] otpada jer ne zadovoljava a ovo zadovoljava uslov [inlmath]x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/inlmath]
[inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\quad x=\frac{-\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] i ovo zadovoljava uslov znaci Postoje dva rjesanja koja zadovoljavaju uslov.

E sada pitanje je da li se mogla ova jednacina nekako jednostavnije rjesiti bez kvadriranja ja sam pokusavao i nije mi se dalo. I jos, na prijemnom na daju kalkulator da se koristi kako izracunati [inlmath]x[/inlmath] iz ovoga [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}[/inlmath] jer bez kalkulatora ja stvarno nemam ideje nikada ne bi rucno dosao do pravog rezultata samo bi ostavio [inlmath]x=\arcsin\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}[/inlmath]

Jednačinu si dobro postavio. Dobro si dobio:
[dispmath]\sin x + \cos x =\frac{\sqrt2}{2}[/dispmath]

E sad, dalje ti ne bih preporučio da radiš na način na koji si naveo. Umesto toga, množenjem sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]:

[dispmath]\frac{\sqrt2}{2} \sin x + \frac{\sqrt2}{2} \cos x =\frac{\sqrt2}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = \frac12[/dispmath][dispmath]\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x = \frac12[/dispmath][dispmath]\sin \left(\frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{1}{2}[/dispmath]

Dalje, pretpostavljam, znaš kako ovo uraditi...

U pravu si ovo je stvarno dosta jednostavnije od onoga moga. Sa onim svojim samo zakomplikujem pa cak dobijam i visak rjesenja.. Uradio sam nema sta rjesenja su ista ali je ovo 3 puta brze.

Gamma je napisao:[dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]\sin x+\cos x=\frac{\sqrt 2}{2}[/dispmath]

Kô što Milovan reče, dovde sve

Gamma je napisao:[dispmath]\cos x=\frac{\sqrt 2}{2}-\sin x[/dispmath][dispmath]\sqrt{1-\sin^2x}=\frac{\sqrt 2}{2}-\sin x[/dispmath][dispmath]4\sin^2x-2\sqrt 2\sin x-1=0[/dispmath]

Slažem se s Milovanom da ovakav način treba izbegavati, a evo i zašto. Kada si [inlmath]\cos x[/inlmath] napisao kao [inlmath]\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], zanemario si mogućnost da kosinus može biti i negativan, budući da si ga zamenio kvadratnim korenom, čija vrednost po definiciji može biti samo pozitivna ili nula. Kada imamo kvadrat kosinusa, [inlmath]\cos^2x[/inlmath], on se bez problema može napisati kao [inlmath]1-\sin^2x[/inlmath], ali kad imamo samo kosinus, kao u ovom slučaju, on se mora zapisati kao [inlmath]\pm\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], pri čemu treba voditi računa o tome da li ispred korena uzimamo plus ili minus. U ovom slučaju ne znamo predznak kosinusa, pa tako ne znamo ni koji predznak da uzmemo ispred korena. U principu bi bilo korektno da si u jednačini [inlmath]\cos x=\frac{\sqrt 2}{2}-\sin x[/inlmath] kvadrirao obe strane, uz prethodno postavljen uslov da leva i desna strana moraju biti istog predznaka, pa onda [inlmath]\cos^2x[/inlmath] napisati kao [inlmath]1-\sin^2x[/inlmath] (što si, zapravo, ti i uradio, ali bez navođenja tog neophodnog uslova). Ali, time se račun prilično zakomplikuje i definitivno je jednostavniji ovaj postupak koji ti je Milovan pokazao.

A postoji još jedan način, koji sam pokazao ovde. Na taj način, [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath] možeš transformisati u [inlmath]\sqrt 2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath], čime se opet dobija ista jednačina kao i pomoću Milovanovog postupka. Ovaj postupak je, međutim, univerzalniji, u smislu da se može primeniti i kada uz sinus i uz kosinus stoje različiti koeficijenti.

Gamma je napisao:Poslije rjesavanja ove kvadratne jednacine dobijemo dva rjesanja.

[inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}\quad\cancel{x=\frac{5\pi}{12}+2k\pi}[/inlmath] otpada jer ne zadovoljava a ovo zadovoljava uslov [inlmath]x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/inlmath]
[inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}\quad x=\frac{-\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] i ovo zadovoljava uslov znaci Postoje dva rjesanja koja zadovoljavaju uslov.

Ovo nisam razumeo, zadovoljava i ne zadovoljava koji uslov? Nikakav uslov prethodno nisi naveo.
I, pretpostavljam da je greška – da, zapravo, u gornjem redu treba da stoji [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2{\color{red}+}\sqrt 6}{4}[/inlmath], a u donjem [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2{\color{red}-}\sqrt 6}{4}[/inlmath].

Gamma je napisao:I jos, na prijemnom na daju kalkulator da se koristi kako izracunati [inlmath]x[/inlmath] iz ovoga [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}[/inlmath] jer bez kalkulatora ja stvarno nemam ideje nikada ne bi rucno dosao do pravog rezultata samo bi ostavio [inlmath]x=\arcsin\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}[/inlmath]

Evo ovako:
[dispmath]\sin x=\frac{\sqrt 2-\sqrt 6}{4}=-\frac{1}{4}\left|\sqrt 6-\sqrt 2\right|=-\frac{1}{4}\sqrt{\left(\sqrt 6-\sqrt 2\right)^2}=-\frac{1}{4}\sqrt{6-2\sqrt{12}+2}=\\=-\frac{1}{4}\sqrt{8-4\sqrt 3}=-\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt 3}{2}}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{6}}{2}}=-\left|\sin\frac{\pi}{12}\right|[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin x=-\left|\sin\frac{\pi}{12}\right|\quad\Rightarrow\quad\sin x=\sin\left(-\frac{\pi}{12}+2k\pi\right)\quad\lor\quad\sin x=\sin\left(\frac{13\pi}{12}+2k\pi\right)\quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi[/dispmath]
U ovom zadataku, inače, rešenje [inlmath]x=\frac{13\pi}{12}+2k\pi[/inlmath] bi otpalo zbog uslova koji je prethodno potrebno postaviti, što mi se čini da ti i jesi uradio, mada nisam razumeo koji je tačno uslov koji si postavio. I iz [inlmath]\sin x=\frac{\sqrt 2+\sqrt 6}{4}[/inlmath] se na sličan način dobije [inlmath]x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi[/inlmath], tako da su to ta dva rešenja.

Sto se toga tice uslov je da od toga ugla sinus ili cosinus mora biti negativan. Makar jedan oba ne smiju biti ni negativna ni pozitivna. To je neki uslov po nekoj mojoj logici mozda malo i bezveze ali eto. Mada sve sam iskompikovo sa kvadriranjem jer uvjek kada se nesto kvadrira dobija se visak..Pogledao sam ovo pravilo nije lose

Ne znaš kog je znaka sinus a kog kosinus u startu, i otuda ne možeš znati da li je [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=-\sqrt{1-\sin^2 x}[/inlmath].

Recimo da je data jednačina [inlmath]\sin x-\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}[/inlmath]. Tvojim postupkom bi iz toga dobio istu jednačinu kao i ovog puta:
[dispmath]4\sin^2x-2\sqrt 2\sin x-1=0[/dispmath]
U tome i jeste fora. Radeći ovako kako si ti radio, ti sa ovom kvadratnom u stvari dobijaš rešenja dve jednačine – one koja ti je data, i ove druge koju sam sad naveo. Samim tim imaš višak rešenja.

Inače, tvoje tvrđenje da sinus i kosinus ovde nisu istog znaka jeste tačno. Tj. ne može u isto vreme da bude [inlmath]\sin x>0,\;\cos x > 0[/inlmath] i [inlmath]\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/inlmath], kao ni da je u isto vreme zadovoljeno [inlmath]\sin x<0,\;\cos x<0[/inlmath] i [inlmath]\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}[/inlmath]. Međutim, to pre svega nisi dokazao (obrazložio), a i kada bi to uradio, gorenavedeno i dalje važi.