MATEMANIJA

Pozdrav u pitanju je ova trigonometrijska jednacina
[dispmath]\sin x=1-x^2[/dispmath]
Kako sam ja cuo da se radi na dva nacina graficki i metodom njutnove tangente. Mada ja nemam pojma o ovoj drugoj metodi kako se to primjenjuje. Tj da li sve ovaj zadatak moze rjesiti bez vise matematike(mislim na derivacije limese integrade izvode itd.). Isto me zanima graficka metoda znam da nacrtam parabolu i sinusoidu ali ne znam kako da odredim kordinate presjeka. Pa eto ako moze tu neka pomoc.

Analitičkim putem nije moguće odrediti rešenja, a grafičkim putem je moguće odrediti broj rešenja jednačine. Jednačina spada u transcendentne i u ovoj temi smo imali sličan primer.

Grafički u suštini može da se dođe do približnih rešenja – ako precizno konstruišeš grafike funkcija [inlmath]f(x)=\sin x[/inlmath] i [inlmath]g(x)=1-x^2[/inlmath], to će biti [inlmath]x[/inlmath]- koordinate presečnih tačaka.

Što se tiče Njutnovog metoda tangetne, radi se o metodi numeričke matematike, i ona traži neko poznavanje izvoda funkcije. Ali, nije preterano komplikovano, pa ću navesti kako se može raditi.

Posmatrajmo funkciju [inlmath]f(x)=\sin x+x^2-1[/inlmath] (čiji je izvod [inlmath]f'(x)=\cos x+2x[/inlmath]). Rešenja polazne jednačine su u stvari njene nule. Odredimo ih.
Pre svega, sa skice grafika možemo naslutiti da jednačina ima dva rešenja (tj. funkcija dve nule), od kojih je jedna oko [inlmath]-1,5[/inlmath], a druga oko tačke [inlmath]0,5[/inlmath].

Nadalje primenjujemo rekurzivnu formulu:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/dispmath]
Hajde prvo da potražimo rešenje oko druge od te dve tačke.
[dispmath]x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=0.5-\frac{-0.27057}{1.87758}=0.64411[/dispmath]
Onda to uvrstiš u:
[dispmath]x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=\cdots[/dispmath]
A zatim ono što dobiješ u:
[dispmath]x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=\cdots[/dispmath]
Svaki put se tako dođe do sve preciznije vrednosti rešenja. Zavisno od preciznosti koju želiš, možeš i dalje ponavaljati ovakav postupak. Slično ide i za drugu tačku.

Tačna rešenja nije moguće odrediti, jer je jednačina, kao što Daniel reče, transcendentna.

Hvala .Odma kada sam vidio da rjesenja nisu cijeli brojevi bilo mi je nesto neobicno. Mislim da se graficki ne moze izracunati tacan rezultat.A sto se tice te njutnove tangente na zalost jos nisam ucio izvode pa ne mogu da skontam to.

[dispmath]\sin x=a[/dispmath][dispmath]x=(-1)^k\cdot\sin^{-1}a+2k\pi[/dispmath]
ja sam nasao ove formule, mozda se one mogu nekako iskoristiti da se rijesi jednacina tog tipa

Prvo, pod pretpostavkom da ti [inlmath]\sin^{-1}a[/inlmath] označava [inlmath]\arcsin a[/inlmath], jednakost ne treba da glasi

Sinisa je napisao:[dispmath]x=(-1)^k\cdot\sin^{-1}a+2k\pi[/dispmath]

već
[dispmath]x=\left(-1\right)^k\cdot\sin^{-1}a+k\pi[/dispmath]
Dakle, bez dvojke u poslednjem sabirku.

Drugo, šta bi time uopšte dobio? Ako bi sada to [inlmath]x[/inlmath] uvrstio u početnu jednačinu, [inlmath]\sin x=1-x^2[/inlmath], nakon sređivanja bi dobio jednačinu u kojoj u jednom sabirku figuriše [inlmath]x[/inlmath], a u drugom sabirku [inlmath]\arcsin x[/inlmath], a to ti je opet transcendentna jednačina...