MATEMANIJA

Pozdrav za sve. Ako moze pomoc oko ovoga zadatka Ako je [inlmath]\alpha\in \bigg(\frac{\pi}{2},\pi\bigg)[/inlmath]tada je [inlmath]\sin(2\alpha)=[/inlmath] [dispmath]\frac{1}{\mathrm{tg}^2(\alpha)}+\frac{1}{\mathrm{ctg}^2(\alpha)}+221\Bigg(\frac{1}{\sin^2(\alpha)}+\frac{1}{\cos^2(\alpha)}\Bigg)=1996[/dispmath]

Ja sam ove nesto vrtio na vise nacina cak sam pokusavao nekako da dobijem [inlmath]\sin(2\alpha)[/inlmath] u ovoj jednacini da pa samo to izrazimi i izracunam ali nije mi se to dalo nikako .Ja sam radio ovako. Kada se ovo sve malo sredi i svede na sinus i cosinus dobije se [dispmath]\frac{999\sin^4(\alpha)-999\sin^2(\alpha)+111}{\sin^2(\alpha)\cos^2(\alpha)}=0[/dispmath]
Uvedem smjenu za bikvadratnu jednacinu [inlmath]t=\sin^2(\alpha)[/inlmath]
[dispmath]999t^2-999t+111=0[/dispmath][dispmath]9t^2-9t+1=0[/dispmath][dispmath]t_{12}=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt5}{6}[/dispmath]

Ali problem je kako sada dalje kako ovo korjenovati i dobiti ugao(pitanje je da li je ovo uopste neki standardni ugao) imacemo visak rjesenja pa oda moramo izvaditi cosinus preko sinusa pa tek onda sinus dvostrukog ugla. Mada ja mislim da mora imati neko jednostavnije rjesenje koje ja ne znam,meni je ovo prvo palo na pamet samo komplikujem sa ovim.

Ja bih išao drugačijim putem:
[dispmath]\frac{1}{\mathrm{tg}^2\alpha}+\frac{1}{\mathrm{ctg}^2\alpha}+221\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}+\frac{1}{\cos^2\alpha}\right)=1996[/dispmath][dispmath]\frac{1+\cos 2\alpha}{1-\cos 2\alpha}+\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}+221\cdot\frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}=1996[/dispmath][dispmath]\frac{\left(1+\cos 2\alpha\right)^2+\left(1-\cos 2\alpha\right)^2}{\left(1-\cos 2\alpha\right)\left(1+\cos 2\alpha\right)}+221\cdot\frac{1}{\frac{1}{4}\sin^22\alpha}=1996[/dispmath][dispmath]\frac{1+\cancel{2\cos 2\alpha}+\cos^22\alpha+1-\cancel{2\cos 2\alpha}+\cos^22\alpha}{1-\cos^22\alpha}+\frac{884}{\sin^22\alpha}=1996[/dispmath][dispmath]\frac{2+2\cos^22\alpha}{\sin^22\alpha}+\frac{884}{\sin^22\alpha}=1996[/dispmath][dispmath]\frac{886+2\cos^22\alpha}{\sin^22\alpha}=1996\quad /:2[/dispmath][dispmath]\frac{443+\cos^22\alpha}{\sin^22\alpha}=998[/dispmath][dispmath]\frac{443+1-\sin^22\alpha}{\sin^22\alpha}=998[/dispmath][dispmath]\frac{444-\sin^22\alpha}{\sin^22\alpha}=998[/dispmath][dispmath]\frac{444}{\sin^22\alpha}-1=998[/dispmath][dispmath]\frac{444}{\sin^22\alpha}=999[/dispmath][dispmath]\sin^22\alpha=\frac{444}{999}=\frac{4}{9}[/dispmath][dispmath]\sin 2\alpha=\pm\frac{2}{3}[/dispmath]
i, pošto je [inlmath]\alpha[/inlmath] u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu, [inlmath]2\alpha[/inlmath] će biti u [inlmath]III[/inlmath] ili u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu, u kojima je sinus negativan, tako da uzimamo predznak minus.

Ovo izrazavanje kvadrata tangensa i cotangensa preko cosinusa dvostrukog ugla nikada mi ne bi palo na pamet.Jer ja sam probavao sve i svasta i nikako nisam mogao doci do ove formule. Caka je ovde da kada izrazimo tangens [inlmath]\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}[/inlmath] mora se razlomak prosiriti sa dva pa tek onda se moze postaviti ona jednakost tj izraziti kvadrata sinusa i cosinusa preko cosinusa dvostrukog ugla.E sada ono sto sam ja radio suludo je. Naravno ja sam pokusavao kvadrat tangensa i cotangensa da odmah izrazim preko sinusa dvostrukog ugla i nije mi se dalo. Da li se to mogo uraditi u ovome zadatku i da li bi bilo komplikovanije? Jeste da je zadatak ovaj namjesten da se dobije kvadrat cosinusa dvostrukog ugla pa onda to zamjenim sa sinusom a da sam imo samo cosinus dvostrukog ugla vec bi se to malo vise iskomplikovalo. Pa zato i pitam da li se to moglo direktno izraziti preko sinusa dvostrukog ugla ?

Gamma je napisao:Ovo izrazavanje kvadrata tangensa i cotangensa preko cosinusa dvostrukog ugla nikada mi ne bi palo na pamet.Jer ja sam probavao sve i svasta i nikako nisam mogao doci do ove formule. Caka je ovde da kada izrazimo tangens [inlmath]\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{2\sin^2\alpha}{2\cos^2\alpha}[/inlmath] mora se razlomak prosiriti sa dva pa tek onda se moze postaviti ona jednakost tj izraziti kvadrata sinusa i cosinusa preko cosinusa dvostrukog ugla.

Izražavanje kvadrata tangensa preko kosinusa dvostrukog ugla direktno sledi iz formule za tangens polovine ugla, za koju se očekuje da je znate:
[dispmath]\mathrm{tg}^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}[/dispmath]
Naravno, u njoj samo [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] zameniš sa [inlmath]\alpha[/inlmath], odnosno [inlmath]\alpha[/inlmath] sa [inlmath]2\alpha[/inlmath], i dobićeš formulu primenjenu u ovom zadatku.
A izvođenje formule za tangens polovine ugla je, kao i sva ostala izvođenja, pokazano u ovoj temi – nije ni potrebno proširivanje razlomka dvojkom, već jednostavno podeliš izraz za [inlmath]\sin^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath] izrazom za [inlmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i dvojke u imeniocima se pokrate.

Gamma je napisao:E sada ono sto sam ja radio suludo je. Naravno ja sam pokusavao kvadrat tangensa i cotangensa da odmah izrazim preko sinusa dvostrukog ugla i nije mi se dalo. Da li se to mogo uraditi u ovome zadatku i da li bi bilo komplikovanije? Jeste da je zadatak ovaj namjesten da se dobije kvadrat cosinusa dvostrukog ugla pa onda to zamjenim sa sinusom a da sam imo samo cosinus dvostrukog ugla vec bi se to malo vise iskomplikovalo. Pa zato i pitam da li se to moglo direktno izraziti preko sinusa dvostrukog ugla ?

Moglo bi, ali bi, što kažeš, bilo mnogo komplikovanije. I opet bi moralo ići preko kosinusa:
[dispmath]\mathrm{tg}^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}=\frac{1-\left(\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)}{1+\left(\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)}[/dispmath]
i onda bi, uopšte gledano, morao da odvojeno razmatraš dva slučaja, jedan kada je [inlmath]2\alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath] (tada je [inlmath]\cos 2\alpha[/inlmath] negativan, pa umesto [inlmath]\pm[/inlmath] uzimaš minus), a drugi kada je [inlmath]2\alpha\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)[/inlmath] (tada je [inlmath]\cos 2\alpha[/inlmath] pozitivan, pa umesto [inlmath]\pm[/inlmath] uzimaš plus).

U ovom zadatku je, doduše, povoljna okolnost to što se sabiraju kvadrat tangensa i kvadrat kotangensa (zapravo, sabiraju se recipročne vrednosti njihovih kvadrata, ali, pošto se tangens može napisati kao recipročna vrednost kotangensa i obratno, to dođe na isto kao i da se sabiraju kvadrat tangensa i kvadrat kotangensa), pa se to svodi na
[dispmath]\mathrm{tg}^2\alpha+\mathrm{ctg}^2\alpha=\frac{1\mp\sqrt{1-\sin^22\alpha}}{1\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}}+\frac{1\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}}{1\mp\sqrt{1-\sin^22\alpha}}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(1\mp\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)^2+\left(1\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)^2}{\left(1\pm\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)\left(1\mp\sqrt{1-\sin^22\alpha}\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1\mp\cancel{2\sqrt{1-\sin^22\alpha}}+1-\sin^22\alpha+1\pm\cancel{2\sqrt{1-\sin^22\alpha}}+1-\sin^22\alpha}{1-\left(1-\sin^22\alpha\right)}=\cdots[/dispmath]
to jest, pošto se oslobađamo znakova [inlmath]\pm[/inlmath] i [inlmath]\mp[/inlmath], nije potrebno razdvajanje na pomenuta dva slučaja...

Izvodio sam onu gore formulu ali nije mi tada palo na pamet to da uvrstim [inlmath]\alpha[/inlmath] umjesto [inlmath]\frac{\alpha}{2}[/inlmath] i onda dobijem ovu formulu.