Regionalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola Republike Srpske – 12.3.2011. – 3. razred

U skupu realnih brojeva riješiti jednačinu
[dispmath]1+\sin\left(\frac{x+\pi}{5}\right)\cdot\sin\left(\frac{x-\pi}{11}\right)=0.[/dispmath]
Prvi slucaj:
[dispmath]\sin\left(\frac{x+\pi}{5}\right)=1\quad\land\quad\sin\left(\frac{x-\pi}{11}\right)=-1[/dispmath][dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi\quad\land\quad x=-\frac{9\pi}{2}+22k\pi[/dispmath]
Drugi slucaj:
[dispmath]\sin\left(\frac{x+\pi}{5}\right)=-1\quad\land\quad\sin\left(\frac{x-\pi}{11}\right)=1[/dispmath][dispmath]x=-\frac{2\pi}{7}+10k\pi\quad\land\quad x=\frac{13\pi}{2}+22k\pi[/dispmath]
E sada za konacno rjesenje treba naci zajednicka rjesenja prvog slucaja i drugoga pa to staviti u uniju. Problem je u tome sto ne znam kako naci zajednicka rjesenja kod ova dva slucaja. Probavao sam nesto da svedem na najmanji zajednicki ali nije mi se dalo. Kako

Pokazaću ti za prvi slučaj, a analogno posle radiš i za drugi.

Pre svega, u rešenju prvog slučaja,
[dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi\quad\land\quad x=-\frac{9\pi}{2}+22k\pi[/dispmath]
[inlmath]k[/inlmath] u prvom i [inlmath]k[/inlmath] u drugom iskazu uopšte ne moraju biti jednaki. Zbog toga ih treba različito i označiti:
[dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi\quad\land\quad x=-\frac{9\pi}{2}+22{\color{red}l}\pi[/dispmath]
Pošto između ova dva iskaza imamo znak [inlmath]\land[/inlmath], izjednačavamo vrednosti za [inlmath]x[/inlmath] kako bismo pronašli vezu između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]l[/inlmath]:
[dispmath]\frac{3\cancel\pi}{2}+10k\cancel\pi=-\frac{9\cancel\pi}{2}+22l\cancel\pi\quad /\cdot 2[/dispmath][dispmath]3+20k=-9+44l[/dispmath][dispmath]12+20k=44l\quad /:4[/dispmath][dispmath]3+5k=11l[/dispmath]
Pošto je [inlmath]5k[/inlmath] ceo broj čija je poslednja cifra [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath], broj [inlmath]3+5k[/inlmath] će biti ceo broj čija je poslednja cifra [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]8[/inlmath] ako je pozitivan, odnosno [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath] ako je negativan. Samim tim, i [inlmath]11l[/inlmath] mora biti ceo broj čija je poslednja cifra [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]8[/inlmath] ako je pozitivan, odnosno [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath] ako je negativan. To će biti slučaj ako i samo ako je [inlmath]l[/inlmath] ceo broj čija je poslednja cifra [inlmath]3[/inlmath] ili [inlmath]8[/inlmath] ako je pozitivan, odnosno [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]7[/inlmath] ako je negativan. Odatle sledi da je [inlmath]l=5m+3,\;m\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Dobijeni izraz za [inlmath]l[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]x=-\frac{9\pi}{2}+22l\pi[/inlmath]:
[dispmath]x=-\frac{9\pi}{2}+22l\pi[/dispmath][dispmath]x=-\frac{9\pi}{2}+22\left(5m+3\right)\pi[/dispmath][dispmath]x=-\frac{9\pi}{2}+110m\pi+66\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{-9\pi+132\pi}{2}+110m\pi[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\frac{123\pi}{2}+110m\pi}[/dispmath]

---

Čisto radi provere dobijenog rezultata, možemo na osnovu [inlmath]l[/inlmath] odrediti i [inlmath]k[/inlmath], pa zatim njega uvrstiti u izraz [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi[/inlmath], pri čemu treba da dobijemo isti rezultat kao malopre.
U [inlmath]3+5k=11l[/inlmath] uvrstimo [inlmath]l=5m+3[/inlmath], kako bismo odredili [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]3+5k=11l[/dispmath][dispmath]3+5k=11\left(5m+3\right)[/dispmath][dispmath]3+5k=55m+33[/dispmath][dispmath]5k=55m+30\quad /:5[/dispmath][dispmath]k=11m+6[/dispmath]
I sada taj izraz za [inlmath]k[/inlmath] uvrstimo u [inlmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi[/inlmath]:
[dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+10k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+10\left(11m+6\right)\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{3\pi}{2}+110m\pi+60\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{3\pi+120\pi}{2}+110m\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{123\pi}{2}+110m\pi[/dispmath]
što i jeste isti rezultat kao i onaj koji smo dobili pri uvrštavanju [inlmath]l[/inlmath].

Ti sad to isto, samo za drugi slučaj. I na kraju nađeš uniju prvog i drugog slučaja. (Obrati samo pažnju na to da u rešenju drugog slučaja imaš grešku – umesto [inlmath]-\frac{2\pi}{7}[/inlmath] treba [inlmath]-\frac{7\pi}{2}[/inlmath].)

U pravu si pogrjesio sam u kucanju. Ja sam radio ovako:
[dispmath]x=-\frac{7\pi}{2}+10k\pi\quad\land\quad x=\frac{13\pi}{2}+22l\pi[/dispmath][dispmath]-\frac{7\cancel\pi}{2}+10k\cancel\pi =\frac{13\cancel\pi}{2}+22l\cancel\pi[/dispmath][dispmath]-7+20k=13+44l[/dispmath][dispmath]20k=20+44l[/dispmath][dispmath]5k=5+11l[/dispmath][dispmath]11l=5k-5[/dispmath]
E tek sada dolazi najvaznije. Morao sam da svedem na [inlmath]l[/inlmath] jer nisam znao kako da ovo radim sa [inlmath]11l[/inlmath] (preko [inlmath]k[/inlmath]) mislim kako sa [inlmath]11l[/inlmath] dobiti ono zadnja cifra je ta ili ta kada je [inlmath]5[/inlmath] u pitanju tada zadnja cifra mora biti [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath] a kada je [inlmath]11l[/inlmath] zadnja cifra moze biti svaki broj od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] pa me to malo zbunjuje pa sam morao da prebacim na ovaj jednostavniji oblik. E sada ne znam ima li gdje nesto detaljnije o ovome objedinjavanju(traznju zajednickih rjesenja). Mislim na neki dokaz ili vec nesto slicno znam ovo se sigurno ne radi napamet imaju pravila. Ili vec ako ti nije mrsko da ovo pravilo malo prepricas kazes poenu svojim rjecima. Jer ja ovo sam stvarno ne mogu skontati.Sada da ne duzim nastavljam..
[dispmath]11l=5k-5[/dispmath]
[inlmath]5k[/inlmath] mora biti cio broj kojeme je zadnja cifra [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]5k-5[/inlmath] je broj kod kojega zadnja cifra mora biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath] bez obzira da li je pozitivan ili negativan.
Tako da [inlmath]11l[/inlmath] mora biti pozitivan ili negativan broj cija je zadnja cifra [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath] a to ce vaziti kada je [inlmath]l=5n[/inlmath] ( po mome to bi vazilo i kada bi [inlmath]l=5n-5[/inlmath] drugacije bi bilo zapisano i mislim da bi to vazilo ali ipak nisam siguran )
[dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+22\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+22\pi\cdot 5n[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi}[/dispmath][dispmath]n\in\mathbb{Z}[/dispmath]
I kada radim obrnuto ,uvrstim [inlmath]k[/inlmath] umjesto [inlmath]l[/inlmath] dobijem isto tako da je ovo tacno. I onda na kraju unija ova dva rjesnja.
[dispmath]x=\left(\frac{13\pi}{2}+110n\pi\right)\cup\left(\frac{123\pi}{2}+110m\pi\right)[/dispmath][dispmath]m,n\in\mathbb{Z}[/dispmath]

E odmah da ti kažem, sve ovo što si uradio je OK, ništa nije netačno, samo bih neke stvari malo dopunio i prokomentarisao.

Gamma je napisao:[dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]5k=5+11l[/dispmath][dispmath]11l=5k-5[/dispmath]
E tek sada dolazi najvaznije. Morao sam da svedem na [inlmath]l[/inlmath] jer nisam znao kako da ovo radim sa [inlmath]11l[/inlmath] (preko [inlmath]k[/inlmath]) mislim kako sa [inlmath]11l[/inlmath] dobiti ono zadnja cifra je ta ili ta kada je [inlmath]5[/inlmath] u pitanju tada zadnja cifra mora biti [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath] a kada je [inlmath]11l[/inlmath] zadnja cifra moze biti svaki broj od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath] pa me to malo zbunjuje pa sam morao da prebacim na ovaj jednostavniji oblik.

Zapravo, kod [inlmath]11l[/inlmath] poslednja cifra može biti i nula, znači, od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]9[/inlmath], al' nebitno... Mogao si ostaviti i u obliku [inlmath]5k=5+11l[/inlmath], pa reći – pošto je leva strana deljiva sa [inlmath]5[/inlmath], mora biti deljiva sa [inlmath]5[/inlmath] i desna strana, tj. [inlmath]5+11l[/inlmath], a [inlmath]5+11l[/inlmath] će biti deljivo sa [inlmath]5[/inlmath] onda kada je [inlmath]11l[/inlmath] deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], a pošto [inlmath]11[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], sledi da [inlmath]l[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], tj. da je [inlmath]l=5m,\;m\in\mathbb{Z}[/inlmath]. Što si, uostalom, kasnije i dobio, na taj drugi način...

Gamma je napisao:E sada ne znam ima li gdje nesto detaljnije o ovome objedinjavanju(traznju zajednickih rjesenja). Mislim na neki dokaz ili vec nesto slicno znam ovo se sigurno ne radi napamet imaju pravila. Ili vec ako ti nije mrsko da ovo pravilo malo prepricas kazes poenu svojim rjecima. Jer ja ovo sam stvarno ne mogu skontati.

Lično ne znam da za ovo postoje neka pravila, a čak i ako postoje, ona bi bila mnogo više zbunjujuća od samog ovog logičkog postupka. A i ne vidim zašto bi izbegavao ovakvo logičko razmišljanje, vidim da ti prilično dobro ide. A ako ti neki deo postupka iz onog prvog slučaja nije jasan, pitaj...

Gamma je napisao:[dispmath]11l=5k-5[/dispmath]
[inlmath]5k[/inlmath] mora biti cio broj kojeme je zadnja cifra [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath]
[inlmath]5k-5[/inlmath] je broj kod kojega zadnja cifra mora biti [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath] bez obzira da li je pozitivan ili negativan.
Tako da [inlmath]11l[/inlmath] mora biti pozitivan ili negativan broj cija je zadnja cifra [inlmath]5[/inlmath] ili [inlmath]0[/inlmath] a to ce vaziti kada je [inlmath]l=5n[/inlmath] ( po mome to bi vazilo i kada bi [inlmath]l=5n-5[/inlmath] drugacije bi bilo zapisano i mislim da bi to vazilo ali ipak nisam siguran )

Sasvim OK postupak, bez greške. Ali, u ovom konkretnom slučaju čak i nema potrebe za posmatranjem poslednje cifre (u onom prvom slučaju nije moglo drugačije). Ovde se može uočiti da je desna strana, [inlmath]5k-5[/inlmath], deljiva sa [inlmath]5[/inlmath] (što je, zapravo, i ekvivalento iskazu da je poslednja cifra tog broja ili [inlmath]0[/inlmath] ili [inlmath]5[/inlmath]), pa samim tim mora biti deljiva sa [inlmath]5[/inlmath] i leva strana, tj. [inlmath]11l[/inlmath]. A pošto [inlmath]11[/inlmath] nije deljivo sa [inlmath]5[/inlmath], sledi da [inlmath]l[/inlmath] mora biti deljivo sa [inlmath]5[/inlmath]. To jest, [inlmath]l=5m[/inlmath]. I to je to.

Gamma je napisao:[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi}[/dispmath][dispmath]n\in\mathbb{Z}[/dispmath]

Gamma je napisao:I onda na kraju unija ova dva rjesnja.
[dispmath]x=\left(\frac{13\pi}{2}+110n\pi\right)\cup\left(\frac{123\pi}{2}+110m\pi\right)[/dispmath][dispmath]m,n\in\mathbb{Z}[/dispmath]

Rezultat je OK, ali sâm način zapisivanja nije baš najpravilniji. Unija je operacija koja se primenjuje na skupove, prema tome, sve ovo na desnoj strani jednakosti predstavlja neki skup. A to bi značilo da je [inlmath]x[/inlmath] jednako nekom skupu, što, naravno, nije tačno. Pravilnije bi bilo pisati
[dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi\quad\lor\quad x=\frac{123\pi}{2}+110n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}[/dispmath]
Takođe, ovde nisam u zapisu koristio [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath], već samo [inlmath]n[/inlmath], jer ovde imamo disjunkciju. Kod konjunkcije smo morali da uzmemo različite oznake, jer su tamo dva iskaza bila međusobno povezana u smislu da oba istovremeno moraju biti ispunjena, pa je bilo potrebno naglasiti da [inlmath]k[/inlmath] u prvom i [inlmath]l[/inlmath] u drugom iskazu mogu imati različite vrednosti. Ovde, kod disjunkcije, to nije slučaj – ovde su oba iskaza međusobno nezavisna, tj. dovoljno je da bude ispunjen bilo koji od njih. Zbog toga se može koristiti ista oznaka, [inlmath]n[/inlmath], u svakom od ta dva iskaza.

Osim toga, ovaj krajnji rezultat se može još uprostiti:
[dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi\quad\lor\quad x=\frac{123\pi}{2}+110n\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi\quad\lor\quad x=\frac{13\pi+110\pi}{2}+110n\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+110n\pi\quad\lor\quad x=\frac{13\pi}{2}+55\pi+110n\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{13\pi}{2}+55\cdot 2n\pi\quad\lor\quad x=\frac{13\pi}{2}+55\cdot\left(2n+1\right)\pi[/dispmath]
Pošto [inlmath]2n[/inlmath] predstavlja sve parne brojeve, a [inlmath]2n+1[/inlmath] sve neparne brojeve, njihova unija će predstavljati sve cele brojeve. Prema tome, prethodna dva iskaza povezana disjunkcijom možemo objediniti u jedan iskaz:
[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{13\pi}{2}+55n\pi}[/dispmath]
što predstavlja konačno rešenje ovog zadatka, u najuprošćenijem mogućem obliku.

Svaka cast. U pravu si za taj nacin zapisivanja jer to se povezuje disjukcijom. Ne znam ni ja sto sam stavio uniju.