MATEMANIJA

E ovako riječ je o ovome zadatku.Nikada se nisam susreo sa zadacima ovakvog tipa.Tako da mi ovde ništa nije jasno kako se odjenom pojavi [inlmath]\pi[/inlmath] i kako pređe minus ispred inverzne funkcije. Najbolje bi bilo kada bi neko samo opiso princip riješavanja zadatka ovoga tipa. Mislim zapravo kako se uopšte rade ovakvi zadaci. Jer ja stvarno nemam ideju.
[dispmath]\arcsin\Bigg(\cos\left(4+\frac{\pi}{2}\right)\Bigg)=\arcsin (-\sin 4)=-\arcsin\big(\sin(\pi-4)\big)=4-\pi[/dispmath]
jer je [inlmath]\frac{\pi}{2}\le 4\le\frac{3\pi}{2}[/inlmath], pa važi [inlmath]-\frac{\pi}{2}\le\pi-4\le\frac{\pi}{2}[/inlmath]

Ipak sada mi je jasno. Svar je u svođenju na prvi kvadrant.I nije ovo toliko komplikovano koliko mi se učinilo.

Da, štos je u tome što [inlmath]\arcsin[/inlmath], zapravo, nije inverzna funkcija sinusa na celom intervalu realnih brojeva, pa ne važi [inlmath]\arcsin\left(\sin x\right)=x[/inlmath] za svako realno [inlmath]x[/inlmath]. To je zbog toga što sinus, kao periodična funkcija, ne može biti injektivna, a čim nije injektivna znači da ne može imati svoju inverznu funkciju. Ali, pošto sinus na intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] jeste injektivna funkcija, na tom intervalu se uzima da joj je inverzna funkcija [inlmath]\arcsin[/inlmath]. Prema tome, važi
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\;\Rightarrow\;\arcsin\left(\sin x\right)=x[/dispmath]
što znači da je u izrazima [inlmath]\arcsin\left(\sin x\right)[/inlmath] potrebno sinus svesti na sinus ugla koji je u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath], kako bi arkus sinus i sinus mogli da se skrate.

---

Nije ni precizno, ni sasvim tačno, reći da se svođenje vrši na sinus ugla iz [inlmath]I[/inlmath] kvadranta. Jer, interval [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath], na koji se ugao takođe može svesti (a što je i učinjeno u ovom tvom primeru, jer [inlmath]\pi-4\in\left(-\frac{\pi}{2},0\right)[/inlmath]) predstavlja [inlmath]IV[/inlmath] kvadrant; osim toga, svođenje na [inlmath]I[/inlmath] kvadrant značilo bi da se ugao može svesti i na intervale [inlmath]\left(2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath], ili [inlmath]\left(4k\pi,\frac{\pi}{2}+4k\pi\right)[/inlmath] itd. – svi ti intervali predstavljaju [inlmath]I[/inlmath] kvadrant, ali za njih ne važi [inlmath]\arcsin\left(\sin x\right)=x[/inlmath]. Dakle, pravilna formulacija je da sinus svodimo na sinus ugla iz intervala [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath].

Da,upravu si ipak je to preciznije.

Evo uradio sam još po koji primjer ovih zadataka.Za kosinus mi je jasno [inlmath]\arccos (x)[/inlmath] jer je [inlmath]\cos x[/inlmath] injektivna funkcija na intervalu od [inlmath][0,\pi][/inlmath].Jer je funkcija uvijek različita za bilo koje [inlmath]x[/inlmath] iz toga intervala.

Za tangens i kotangens mi nije jasno. Po mome [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] funkcija je injektivna ako je ograničena na intervalu od [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] a isto tako i za kontanges. E sada ne znam da li je ispravno koliko sam ja skontao funkcije bi bile isto injektivne na intervalu od [inlmath][0,\pi][/inlmath] ali nikada se ne bi mogao pokratiti [inlmath]\mathrm{arctg}\:(x)[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] da bude negativna vrijednost. Zapravo uvijek bi bila pozitivna.Znam da vrijednost tangensa i kotangensa nije ograničena. Ali ova priča mi i nije baš najjasnija oko njih.

I tangens i kotangens jesu injektivne kako na intervalu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], tako i na intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath]. Međutim, nisu obe definisane u svim tačkama tih intervala – tangens nije definisan na celom intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath] (jer nije definisan u [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]), a isto tako kotangens nije definisan na celom intervalu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] (jer nije definisan u nuli). Možeš pogledati grafike tangensa i kotangensa u ovom postu. Prilikom definisanja arkus tangensa i arkus kotangensa upravo se vodilo računa o tome da to budu inverzne funkcije tangensa, odnosno kotangensa, na onim intervalima na kojima su tangens, odnosno kotangens, ne samo injektivni, već i definisani u svim tačkama tih intervala.
Za tangens važi da je injektivan i definisan u svim tačkama intervala [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], zbog čega se arkus tangens definiše kao inverz one funkcije koja je na intervalu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] jednaka [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath], a van tog intervala nije definisana.
Analogno i za kotangens – za kotangens važi da je injektivan i definisan u svim tačkama intervala [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath], zbog čega se arkus kotangens definiše kao inverz one funkcije koja je na intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath] jednaka [inlmath]\mathrm{ctg}\:x[/inlmath], a van tog intervala nije definisana.
Pogledaj, takođe, grafike arkus tangensa i arkus kotangensa prikazane u ovom postu.

Sve sam to pregledo i poprilično jasno mi je. Samo mi je osto još jedan zadatak koji stvarno ne znam kako da započnem. Neka mi neko samo da ideju. Rezultat treba da se dobije [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath].
[dispmath]\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\mathrm{arctg}\frac{1}{3}=[/dispmath]

Nađi čemu je jednak tangens celog tog izraza.

Evo uspio sam uraditi zadatak. Konačno posljednji u toj oblasti

Samo da naglasim (ne znam da li si tako radio) da je potrebno postaviti uslov, pošto arkus tangens pozitivnog broja mora biti u intervalu [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath], da zbir ova dva arkus tangensa mora biti u intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath]. Zbog toga, kad budeš dobio da je ovaj izraz jednak [inlmath]\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], biraš samo ono rešenje koje jeste u intervalu [inlmath]\left(0,\pi\right)[/inlmath], a to je ono rešenje za koje je [inlmath]k=0[/inlmath], tj. rešenje [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath].