MATEMANIJA

Pozdrav svima,

ne razumijem jednu stvar u vezi sljedećeg zadatka:


[dispmath]\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}=2\mathrm{tg}\:\alpha[/dispmath]
Izraz sam racionalisala sa lijeve strane, pa dobijem:
[dispmath]{\frac{|1+\sin\alpha |}{|\cos\alpha |}}-{\frac{|1-\sin\alpha |}{|\cos\alpha |}}=2\mathrm{tg}\:\alpha[/dispmath]
E, sada, kako odrediti za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi ova formula? Ja sam pretpostavila da uslovi moraju biti:
[dispmath]1+\sin\alpha >0[/dispmath][dispmath]1-\sin\alpha >0[/dispmath]

[dispmath]\cos\alpha\neq 0[/dispmath]
Za ovaj zadnji uslov je:
[dispmath]\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
Kako se rješavaju ostala dva uslova? Da li gledam tabelu i vrijednosti funkcija za [inlmath]1, -1[/inlmath] pa tako zaključujem? Hvala unaprijed

Zbog toga što se [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] uvek nalazi u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] vrednost oba izraza, [inlmath]1+\sin\alpha[/inlmath] i [inlmath]1-\sin\alpha[/inlmath], uvek će se nalaziti u intervalu [inlmath]\left[0,2\right][/inlmath]. Samim tim će ta dva izraza uvek biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], što znači da znake apsolutne vrednosti možemo jednostavno ukloniti, tj.
[dispmath]\left|1+\sin\alpha\right|=1+\sin\alpha\\ \left|1-\sin\alpha\right|=1-\sin\alpha[/dispmath]
Naravno, zbog toga što se svaki od ta dva izraza nalazi u imeniocu razlomka, potrebno je samo postaviti uslove da su različiti od nule, tj. [inlmath]1+\sin\alpha\ne 0[/inlmath] i [inlmath]1-\sin\alpha\ne 0[/inlmath].

Ostalo je još razmatrati dva odvojena slučaja, za [inlmath]\cos\alpha >0[/inlmath] i za [inlmath]\cos\alpha <0[/inlmath].

P.S. Kad želiš da ti Latex-formule butu centrirane po sredini i izdvojene u zaseban red, nema potrebe da koristiš c-tagove i InlineMath-tagove. Umesto njih, sve to odrađuju equation-tagovi, koji još dodatno i uvećaju same formule, pa nema potrebe ni za size-tagovima. Korigovao sam ti to.

Evo pregledo sam ovaj zadatak. Zapravo nije mi jasna formulacija zadatka. Šta se podrazumjeva pod ˝Za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi formula?˝. Mene je to asociralo na pojam riješi jednačinu.Koliko vidim vi određujete neke uslove ne vidim da riješavate jednačinu.Ili je ovo samo postavljanje uslova dio zadatka?

„Za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi formula?“ u ovom slučaju ima identično značenje kao i „Rešiti jednačinu po [inlmath]\alpha[/inlmath]“.

A na samom početku rešavanja jednačina ovog tipa, kao što i sam verovatno znaš, treba postaviti razne uslove (uslove definisanosti jednačine, uslove raznih slučajeva i podslučajeva koji se zasebno obrađuju...) To je ono što prethodi samom rešavanju, koje ovde nisam prikazao, jer rešavanje predstavlja lakši deo.

Evo uspio sam odrediti [inlmath]\alpha[/inlmath]. Riješenje je ispravno provjerio sam ga. Samo me zanima da li je ispravan moj način zapisivanja riješenja.
[inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath]
[inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi <\alpha <\frac{\pi}{2}+2k\pi)[/inlmath]
Sada ne znam koji je način pravilan možda su čak i oba načina pravilna.

Zapis [inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] znači sasvim isto što i zapis [inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] i oba su ispravna.

Pošto je potrebno uključiti još i skup rešenja [inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath], to se može zapisati na sledeće načine:
[dispmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cup\left\{k\pi\right\}[/dispmath]

[dispmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad\alpha=k\pi[/dispmath]

Hvala na odgovoru.

Zašto je skup kome [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada baš [dispmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cup\left\{k\pi\right\}[/dispmath]? Je li zato što je tangens za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nedefinisan?

Polinom je napisao:Je li zato što je tangens za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nedefinisan?

Upravo zato tangens nije definisan za taj ugao.

Da, otvoren interval u izrazu za rešenje imamo zbog toga što tangens nije definisan za [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali nisam razumeo da li se tvoje pitanje odnosi na taj otvoren interval, ili na nešto drugo u izrazu za rešenje...

Mislila sam na taj otvoreni interval.
Evo, opet sam naišla na jedan zadatak, i dobila uslov da [inlmath]\cos\alpha\geq\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. Zaključila sam da onda mora biti [inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)[/inlmath], jer je npr [inlmath]\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\approx 0.866[/inlmath] što je veće od [inlmath]\approx 0.707[/inlmath]. Vodila sam se trigonometrijskom kružnicom. Međutim, u rješenju piše da je [inlmath]\alpha\in\left(0 +2k\pi,\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)[/inlmath].

Kako to?