MATEMANIJA

Pozdrav svima,

ne razumijem jednu stvar u vezi sljedećeg zadatka:


[dispmath]\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}=2\mathrm{tg}\:\alpha[/dispmath]
Izraz sam racionalisala sa lijeve strane, pa dobijem:
[dispmath]{\frac{|1+\sin\alpha |}{|\cos\alpha |}}-{\frac{|1-\sin\alpha |}{|\cos\alpha |}}=2\mathrm{tg}\:\alpha[/dispmath]
E, sada, kako odrediti za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi ova formula? Ja sam pretpostavila da uslovi moraju biti:
[dispmath]1+\sin\alpha >0[/dispmath][dispmath]1-\sin\alpha >0[/dispmath]

[dispmath]\cos\alpha\neq 0[/dispmath]
Za ovaj zadnji uslov je:
[dispmath]\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi[/dispmath]
Kako se rješavaju ostala dva uslova? Da li gledam tabelu i vrijednosti funkcija za [inlmath]1, -1[/inlmath] pa tako zaključujem? Hvala unaprijed

Zbog toga što se [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] uvek nalazi u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] vrednost oba izraza, [inlmath]1+\sin\alpha[/inlmath] i [inlmath]1-\sin\alpha[/inlmath], uvek će se nalaziti u intervalu [inlmath]\left[0,2\right][/inlmath]. Samim tim će ta dva izraza uvek biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], što znači da znake apsolutne vrednosti možemo jednostavno ukloniti, tj.
[dispmath]\left|1+\sin\alpha\right|=1+\sin\alpha\\ \left|1-\sin\alpha\right|=1-\sin\alpha[/dispmath]
Naravno, zbog toga što se svaki od ta dva izraza nalazi u imeniocu razlomka, potrebno je samo postaviti uslove da su različiti od nule, tj. [inlmath]1+\sin\alpha\ne 0[/inlmath] i [inlmath]1-\sin\alpha\ne 0[/inlmath].

Ostalo je još razmatrati dva odvojena slučaja, za [inlmath]\cos\alpha >0[/inlmath] i za [inlmath]\cos\alpha <0[/inlmath].

P.S. Kad želiš da ti Latex-formule butu centrirane po sredini i izdvojene u zaseban red, nema potrebe da koristiš c-tagove i InlineMath-tagove. Umesto njih, sve to odrađuju equation-tagovi, koji još dodatno i uvećaju same formule, pa nema potrebe ni za size-tagovima. Korigovao sam ti to.

Evo pregledo sam ovaj zadatak. Zapravo nije mi jasna formulacija zadatka. Šta se podrazumjeva pod ˝Za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi formula?˝. Mene je to asociralo na pojam riješi jednačinu.Koliko vidim vi određujete neke uslove ne vidim da riješavate jednačinu.Ili je ovo samo postavljanje uslova dio zadatka?

„Za koje [inlmath]\alpha[/inlmath] važi formula?“ u ovom slučaju ima identično značenje kao i „Rešiti jednačinu po [inlmath]\alpha[/inlmath]“.

A na samom početku rešavanja jednačina ovog tipa, kao što i sam verovatno znaš, treba postaviti razne uslove (uslove definisanosti jednačine, uslove raznih slučajeva i podslučajeva koji se zasebno obrađuju...) To je ono što prethodi samom rešavanju, koje ovde nisam prikazao, jer rešavanje predstavlja lakši deo.

Evo uspio sam odrediti [inlmath]\alpha[/inlmath]. Riješenje je ispravno provjerio sam ga. Samo me zanima da li je ispravan moj način zapisivanja riješenja.
[inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath]
[inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] ili [inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi <\alpha <\frac{\pi}{2}+2k\pi)[/inlmath]
Sada ne znam koji je način pravilan možda su čak i oba načina pravilna.

Zapis [inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/inlmath] znači sasvim isto što i zapis [inlmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] i oba su ispravna.

Pošto je potrebno uključiti još i skup rešenja [inlmath]\alpha=k\pi[/inlmath], to se može zapisati na sledeće načine:
[dispmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cup\left\{k\pi\right\}[/dispmath]

[dispmath]-\frac{\pi}{2}+2k\pi<\alpha<\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad\alpha=k\pi[/dispmath]

Hvala na odgovoru.

Zašto je skup kome [inlmath]\alpha[/inlmath] pripada baš [dispmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right)\cup\left\{k\pi\right\}[/dispmath]? Je li zato što je tangens za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nedefinisan?

Polinom je napisao:Je li zato što je tangens za [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] nedefinisan?

Upravo zato tangens nije definisan za taj ugao.

Da, otvoren interval u izrazu za rešenje imamo zbog toga što tangens nije definisan za [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali nisam razumeo da li se tvoje pitanje odnosi na taj otvoren interval, ili na nešto drugo u izrazu za rešenje...

Mislila sam na taj otvoreni interval.
Evo, opet sam naišla na jedan zadatak, i dobila uslov da [inlmath]\cos\alpha\geq\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath]. Zaključila sam da onda mora biti [inlmath]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2k\pi\right)[/inlmath], jer je npr [inlmath]\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\approx 0.866[/inlmath] što je veće od [inlmath]\approx 0.707[/inlmath]. Vodila sam se trigonometrijskom kružnicom. Međutim, u rješenju piše da je [inlmath]\alpha\in\left(0 +2k\pi,\frac{\pi}{6}+2k\pi\right)[/inlmath].

Kako to?

Najbolje je napiši taj zadatak da ga vidimo.Ne mogu tačno da ti odgovorim na pitanje dok ne vidim čitav zadatak.Koliko vidim rješenje si potpuno promašila.

Ako je uslov [inlmath]\cos\alpha{\color{red}\geq}\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] a ne [inlmath]\cos\alpha{\color{red}>}\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], onda interval rešenja treba da bude zatvoren, a ne otvoren. To jest, uglaste zagrade umesto oblih.

Ali, što reče Gamma, daj ceo zadatak (poželjno sa svojim postupkom) pa da vidimo. Ako je rešenje to koje su oni dali, onda je verovatno taj uslov [inlmath]\cos\alpha\geq\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] koji si dobila pogrešan.

Znam da trebaju biti uglaste zagrade, zaboravila sam ih staviti. Međutim, rješenja su toliko različita da to ne mijenja moju enigmu

Zadatak jednostavno glasi: Odrediti vrijednosti ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] ([inlmath]\alpha[/inlmath] je između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]360[/inlmath] stepeni), ako je:
[dispmath]\frac{\sqrt2}{2}-\cos\alpha\leq0[/dispmath]
I kod njih ono rješenje koje sam već napisala.

Ako zadatak tako glasi, onda ono njihovo rešenje nema veze s vezom.

Tvoje rešenje bi (s uglastim zagradama) bilo tačno kada za ugao [inlmath]\alpha[/inlmath] ne bi postojao uslov da je u intervalu od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]360^\circ[/inlmath]. Ali, pošto taj uslov postoji, tačno rešenje bi bilo
[dispmath]\alpha\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right][/dispmath]
Doduše, nije najjasnije šta znači da je [inlmath]\alpha[/inlmath] „između [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]360^\circ[/inlmath]“. Da li to znači da uključuje i vrednosti [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]360^\circ[/inlmath], ili da ih ne uključuje? Rešenje koje sam napisao odnosi se na ovo prvo tumačenje, dok za ovo drugo tumačenje treba umesto prve i poslednje uglaste zagrade napisati oble zagrade.

Uključuje, zadatak je napisan sa: [inlmath]0^\circ\leq\alpha\leq360^\circ[/inlmath]. Samo nisam stigla napisati kako treba jer sam žurila
Aha, znači tako bi se pisalo rješenje. Nisam ni pazila na ovaj uslov, zbog toga ne smijem pisati to sa [inlmath]+2k\pi[/inlmath].
Baš me čudi da ovakvu grešku naprave u zadatku. Mada, Vene ih uvijek negdje ima.
Hvala!