MATEMANIJA

[dispmath]\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x=\frac{3}{2}[/dispmath]
u ovom zadatku bih sve morao svesti na [inlmath]x[/inlmath], gdje je [inlmath]2x[/inlmath] koristio bih formulu za dupli ugao, a gdje je [inlmath]3x[/inlmath] koristio bih za zbir kao da je [inlmath]2x+x[/inlmath] pa bih to posle [inlmath]2x[/inlmath] opet rastavljao kao dupli ugao... da li postoji neki jednostavniji nacin?

Ovi kvadrati dobro dođu da se može primeniti formula za kosinus dvostrukog ugla, [inlmath]\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}[/inlmath], pa dobijamo
[dispmath]\frac{1+\cos2x}{\cancel2}+\frac{1+\cos4x}{\cancel2}+\frac{1+\cos6x}{\cancel2}=\frac{3}{\cancel2}[/dispmath][dispmath]\cancel1+\cos2x+\cancel1+\cos4x+\cancel1+\cos6x=\cancel3[/dispmath][dispmath]\cos2x+\cos4x+\cos6x=0[/dispmath]
I zatim primenimo formulu za transformaciju zbira proizvoda u kosinus, nakon čega izvučemo [inlmath]\cos4x[/inlmath] ispred zagrade, pa imamo da je [inlmath]\cos4x=0[/inlmath] ili da je ono što je u zagradi jednako nuli... itd...

mozes li molim te rijesiti ovaj zadatak do kraja ako ti nije problem, buni me kako da rijesim ovu jednacinu, pokusao sam uvesti smjenu [inlmath]t=2x[/inlmath] i kasnije sam sve sveo na [inlmath]t[/inlmath] ali dobijem u jednacini i [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] i ne znam kako da to dovedem do kraja

Znači,
[dispmath]\cos4x+\left(\cos2x+\cos6x\right)=0[/dispmath]
Primenimo transformaciju zbira kosinusa u proizvod,
[dispmath]\cos4x+2\cos\frac{2x+6x}{2}\cos\frac{2x-6x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\cos4x+2\cos4x\cos2x=0[/dispmath]
Kao što rekoh, izvučemo [inlmath]\cos4x[/inlmath] ispred zagrade,
[dispmath]\cos4x\left(1+2\cos2x\right)=0[/dispmath]
i, da bi proizvod dve vrednosti bio nula, potrebno je da makar jedna od tih vrednosti bude nula, dakle:
[dispmath]\cos4x=0\quad\lor\quad1+2\cos2x=0[/dispmath]
Prema tome, odrediš rešenja svake od ove dve jednačine i zatim nađeš uniju tih rešenja...