MATEMANIJA

zadatak: dokazati identitet:
[dispmath]3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-2\left(\sin^6x+\cos^6x\right)=1[/dispmath]
e sad ja ovo [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath] zapisujem kao [inlmath]\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin x\cdot\cos x[/inlmath] i tako rastavim ono kao zbir kubova i na kraju mogu izracunati koliko je [inlmath]x[/inlmath] ali me buni kako traze da dokazem identitet, to bi se podrazumjevalo da vrijedi za svako [inlmath]x[/inlmath]

Tako je, identitet upravo i treba da važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

Nemoj rastavljati ovo [inlmath]\sin^4x+\cos^4x[/inlmath], ostavi ga kako jeste. Umesto njega, rastavi ovo [inlmath]\sin^6x+\cos^6x[/inlmath] prema formuli za zbir kubova, [inlmath]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)[/inlmath], gde je [inlmath]a=\sin^2x[/inlmath] i [inlmath]b=\cos^2x[/inlmath]. Videćeš kako će se sve fino skratiti i dobićeš izraz u kome ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], čime ćeš upravo i dokazati da jednakost važi nezavisno od vrednosti [inlmath]x[/inlmath].

Ceo postupak je u tri ili četiri reda.

pokusao sam ja ovako da rijesim ovaj zadatak i sa smjenama ali nisam uspio da dobijem identitet, pa sam tek nakon toga racunao bez smjena da mi se pokrati nesta ali ni tad nisam uspio... mozes li napisati ovde ta 3-4 reda?

Mogu, al' da znaš da si me razočarô...

Dakle, zadatak glasi
[dispmath]3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-2\left(\sin^6x+\cos^6x\right)=1[/dispmath]
(ovaj prvi red ne računam )
Kao što rekoh, rastavimo [inlmath]\sin^6x+\cos^6x[/inlmath] na način koji sam objasnio:
[dispmath]3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-2\underbrace{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)}_1\left(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x\right)=1[/dispmath][dispmath]3\left(\sin^4x+\cos^4x\right)-2\left(\sin^4x+\cos^4x\right)+2\sin^2x\cos^2x=1[/dispmath][dispmath]\sin^4x+\cos^4x+2\sin^2x\cos^2x=1[/dispmath][dispmath]{\underbrace{\left(\sin^2x+\cos^2x\right)}_1}^2=1[/dispmath]

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

znaci ovo sam radio i u onoj zadnjoj zagradi kad se rastavlja zbir kubova ja sam pisao [inlmath]\sin^2x+\cos^2x-\sin^2x\cdot\cos^2x[/inlmath]

zaplakacu ;'(