MATEMANIJA

[dispmath]\sin2x+\mathrm{tg}\:x=2[/dispmath]
pokusao sam da [inlmath]\sin2x[/inlmath] rastavim preko formule za dvostruki ugao ali to nije ispravan put da se rijesi ovaj zadatak... ako neko ima neku ideju neka kaze

rijesio sam ovaj zadatak... posle cu otkucati postupak rjesenja

Izrazio si sinus preko tangensa? Ja mislim da se tako radi.

aj napisacu posle rjesenje, mada mislim i da postoji jednostavnije, ispisao sam citavu veliku stranicu dok sam ga rijesio :O

pokusaj rijesiti tako pa mi javi ako uspijes, tragam za jednostavnijim rjesenjem

Kako si ga ti uradio? Samo mi reci na koji fazon.Pokušavao sam da svedem sve na tangens ali izgleda tako se ne radi.Možda bi moglo nešto kada bih koristio tangens polovičnoga ugla tada bi sve bilo svedeno na isti ugao.

ja sam prvo rastavio ovo [inlmath]\sin2x[/inlmath] i pomnozio sve sa [inlmath]\cos x[/inlmath]

onda sam izvukao [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade a u zagradi mi je ostalo [inlmath]2\cos^2x+1[/inlmath]

a to je jednako [inlmath]\cos2x+2=2\cos^2x+1[/inlmath]

posle sam ovo izmnozio prebacio [inlmath]2\sin x[/inlmath] na desnu stranu i izvukao [inlmath]2[/inlmath] ispred zagrade na desnoj strani

rastavio [inlmath]\cos2x[/inlmath]

posle sam to opet rastavio kao razliku kvadrata ([inlmath]\cos^2x-\sin^2x[/inlmath] ovo sam rastavio kao razliku kvadrata jer na desnoj strani imam [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath]) i dobijem da je prvo rjesenje [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath]

a drugo sam nasao sto sam obije strane podjelio sa [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath] i sve ovo u zagradama izmnozio i posle toga sam sve podijelio sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] i dobio sam kvadratnu jednacinu sa tangensom

gdje su mu rjesenja [inlmath]\mathrm{tg}\:x=-1\:;\;\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath]

ako ti nesta ne bude jasno, pitaj... predug je zadatak da bih ga citavog ispisao ovde

Sve ti je u redu do pred sâm kraj, tj. do kvadratne jednačine s tangensom. Treba da dobiješ da ta kvadratna jednačina nema rešenja, tj. da je jedino rešenje ovog zadatka [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath].

Da ova rešenja kvadratne jednačine ne valjaju, možeš se uveriti njihovim uvrštavanjem u početnu jednačinu, [inlmath]\sin2x+\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath].
Kada bi bilo [inlmath]\mathrm{tg}\:x=-1[/inlmath] (prvo rešenje koje si dobio), tada bi, uvrštavanjem tangensa u početnu jednačinu, imao [inlmath]\sin2x-1=2[/inlmath], tj. [inlmath]\sin2x=3[/inlmath], a znamo da se sinus mora nalaziti u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], dakle, rešenje je netačno.
Kada bi bilo [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath] (drugo rešenje koje si dobio), tada bi, uvrštavanjem tangensa u početnu jednačinu, imao [inlmath]\sin2x+2=2[/inlmath], tj. [inlmath]\sin2x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath], za koje je [inlmath]\mathrm{tg}\:x=0[/inlmath] ili nije definisan, a ne [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath]. Kontradikcija.
Znači, rešenja kvadratne jednačine ne valjaju.
Ne znam koju si kvadratnu jednačinu dobio, ali ona treba da glasi [inlmath]t^2-t+2=0[/inlmath] (gde je [inlmath]t=\mathrm{tg}\:x[/inlmath]) i ona nema rešenja, jer joj je diskriminanta manja od nule.
Inače, pre deljenja sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] radi svođenja na tu kvadratnu jednačinu, potrebno je samo naglasiti da, pošto [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] mora biti definisan, tada [inlmath]\cos x[/inlmath] ne može biti nula, pa je deljenje njegovim kvadratom dozvoljeno obaviti.

---

Kada si došao do ovog koraka,

Sinisa je napisao:a drugo sam nasao sto sam obije strane podjelio sa [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath] i sve ovo u zagradama izmnozio

tj. do
[dispmath]\sin x\cos x+\sin^2x=2[/dispmath]
mogao si onda lepo sve to da izraziš preko dvostrukog ugla, koristeći [inlmath]2\sin x\cos x=\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}[/inlmath],
[dispmath]\left.\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1-\cos2x}{2}=2\quad\right/\cdot2\\
\sin2x+1-\cos2x=4\\
\sin2x-\cos2x=3[/dispmath]
Pošto se i sinus i kosinus nalaze u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], to znači da njihova razlika ne može biti veća od [inlmath]2[/inlmath], a ovde smo dobili da je njihova razlika [inlmath]3[/inlmath], iz čega odmah vidimo da ova jednačina nema rešenja.

---

Evo još jednog načina (ne kažem da je mnogo jednostavniji od ovog tvog).
Kad si došao do koraka

Sinisa je napisao:onda sam izvukao [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade a u zagradi mi je ostalo [inlmath]2\cos^2x+1[/inlmath]

a to je jednako [inlmath]\cos2x+2=2\cos^2x+1[/inlmath]

i dobio [inlmath]\sin x\left(\cos2x+2\right)=2\cos x[/inlmath], podelimo obe strane sa [inlmath]\sin x[/inlmath] (naravno, prethodno se uverivši da [inlmath]\sin x[/inlmath] ne može biti jednako nuli):
[dispmath]\cos2x+2=2\mathrm{ctg}\:x[/dispmath]
Pošto je leva strana jednačine uvek veća od nule (štaviše, uvek je veća ili jednaka [inlmath]1[/inlmath]), mora biti pozitivna i desna strana, što znači da se [inlmath]x[/inlmath] može nalaziti jedino u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Uz postavljanje ovog uslova, možemo kvadrirati obe strane:
[dispmath]\cos^22x+4\cos2x+4=4\mathrm{ctg}^2x[/dispmath]
Pošto nam na levoj strani jednačine figuriše samo [inlmath]2x[/inlmath], izrazićemo i desnu stranu preko [inlmath]2x[/inlmath]. Kako na desnoj strani imamo kvadrat kotangensa, to nam je zgodno da možemo primeniti formulu [inlmath]\mathrm{ctg}^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}[/inlmath]:
[dispmath]\left.\cos^22x+4\cos2x+4=4\frac{1+\cos2x}{1-\cos2x}\quad\right/\cdot\left(1-\cos2x\right)\\
\left(\cos^22x+4\cos2x+4\right)\left(1-\cos2x\right)=4+4\cos2x[/dispmath]
Smena [inlmath]\cos2x=t[/inlmath],
[dispmath]\left(t^2+4t+4\right)\left(1-t\right)=4+4t\\
-t^3-3t^2+\cancel4=\cancel4+4t\\
t^3+3t^2+4t=0\\
t\left(t^2+3t+4\right)=0\\
t=0\quad\lor\quad t^2+3t+4=0[/dispmath]
Kvadratna jednačina [inlmath]t^2+3t+4=0[/inlmath] nema rešenja (diskriminanta joj je manja od nule), tako da ostaje samo [inlmath]\cos2x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath]. Zbog prethodno postavljenog uslova da [inlmath]x[/inlmath] može biti samo u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, rešenje se svodi na [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath].

[inlmath]\sin x\cos x+\sin^2x=2[/inlmath]

ja sam [inlmath]2[/inlmath] zapisao kao [inlmath]2\cdot\left(\sin^2x+\cos^2x\right)[/inlmath]

i na kraju kada sam citavu tu jednacinu podjelio sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] dobio sam kvadratnu jednacinu [inlmath]-t^2+t-2=0[/inlmath]

sledeci put moram razmisljati o intervalu u kojem se nalaze [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] , ovako produzim zadatak za duplo

mozes li ovde samo napisati kako si ti dosao do rjesenja [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath] zato sto mislim da je moje dosta komplikovano

Bio sam uvjeren da postoji neki fazon da se ovaj zadatak skrati nekako. Mada i moje rješenje je dosta dugo ali na kraju se dobije isto. Samo jedno tačno rješenje i ostala koja otpadaju.