MATEMANIJA

[dispmath]\sin2x+\mathrm{tg}\:x=2[/dispmath]
pokusao sam da [inlmath]\sin2x[/inlmath] rastavim preko formule za dvostruki ugao ali to nije ispravan put da se rijesi ovaj zadatak... ako neko ima neku ideju neka kaze

rijesio sam ovaj zadatak... posle cu otkucati postupak rjesenja

Izrazio si sinus preko tangensa? Ja mislim da se tako radi.

aj napisacu posle rjesenje, mada mislim i da postoji jednostavnije, ispisao sam citavu veliku stranicu dok sam ga rijesio :O

pokusaj rijesiti tako pa mi javi ako uspijes, tragam za jednostavnijim rjesenjem

Kako si ga ti uradio? Samo mi reci na koji fazon.Pokušavao sam da svedem sve na tangens ali izgleda tako se ne radi.Možda bi moglo nešto kada bih koristio tangens polovičnoga ugla tada bi sve bilo svedeno na isti ugao.

ja sam prvo rastavio ovo [inlmath]\sin2x[/inlmath] i pomnozio sve sa [inlmath]\cos x[/inlmath]

onda sam izvukao [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade a u zagradi mi je ostalo [inlmath]2\cos^2x+1[/inlmath]

a to je jednako [inlmath]\cos2x+2=2\cos^2x+1[/inlmath]

posle sam ovo izmnozio prebacio [inlmath]2\sin x[/inlmath] na desnu stranu i izvukao [inlmath]2[/inlmath] ispred zagrade na desnoj strani

rastavio [inlmath]\cos2x[/inlmath]

posle sam to opet rastavio kao razliku kvadrata ([inlmath]\cos^2x-\sin^2x[/inlmath] ovo sam rastavio kao razliku kvadrata jer na desnoj strani imam [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath]) i dobijem da je prvo rjesenje [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath]

a drugo sam nasao sto sam obije strane podjelio sa [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath] i sve ovo u zagradama izmnozio i posle toga sam sve podijelio sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] i dobio sam kvadratnu jednacinu sa tangensom

gdje su mu rjesenja [inlmath]\mathrm{tg}\:x=-1\:;\;\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath]

ako ti nesta ne bude jasno, pitaj... predug je zadatak da bih ga citavog ispisao ovde

Sve ti je u redu do pred sâm kraj, tj. do kvadratne jednačine s tangensom. Treba da dobiješ da ta kvadratna jednačina nema rešenja, tj. da je jedino rešenje ovog zadatka [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath].

Da ova rešenja kvadratne jednačine ne valjaju, možeš se uveriti njihovim uvrštavanjem u početnu jednačinu, [inlmath]\sin2x+\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath].
Kada bi bilo [inlmath]\mathrm{tg}\:x=-1[/inlmath] (prvo rešenje koje si dobio), tada bi, uvrštavanjem tangensa u početnu jednačinu, imao [inlmath]\sin2x-1=2[/inlmath], tj. [inlmath]\sin2x=3[/inlmath], a znamo da se sinus mora nalaziti u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], dakle, rešenje je netačno.
Kada bi bilo [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath] (drugo rešenje koje si dobio), tada bi, uvrštavanjem tangensa u početnu jednačinu, imao [inlmath]\sin2x+2=2[/inlmath], tj. [inlmath]\sin2x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{k\pi}{2}[/inlmath], za koje je [inlmath]\mathrm{tg}\:x=0[/inlmath] ili nije definisan, a ne [inlmath]\mathrm{tg}\:x=2[/inlmath]. Kontradikcija.
Znači, rešenja kvadratne jednačine ne valjaju.
Ne znam koju si kvadratnu jednačinu dobio, ali ona treba da glasi [inlmath]t^2-t+2=0[/inlmath] (gde je [inlmath]t=\mathrm{tg}\:x[/inlmath]) i ona nema rešenja, jer joj je diskriminanta manja od nule.
Inače, pre deljenja sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] radi svođenja na tu kvadratnu jednačinu, potrebno je samo naglasiti da, pošto [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] mora biti definisan, tada [inlmath]\cos x[/inlmath] ne može biti nula, pa je deljenje njegovim kvadratom dozvoljeno obaviti.

---

Kada si došao do ovog koraka,

Sinisa je napisao:a drugo sam nasao sto sam obije strane podjelio sa [inlmath]\cos x-\sin x[/inlmath] i sve ovo u zagradama izmnozio

tj. do
[dispmath]\sin x\cos x+\sin^2x=2[/dispmath]
mogao si onda lepo sve to da izraziš preko dvostrukog ugla, koristeći [inlmath]2\sin x\cos x=\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}[/inlmath],
[dispmath]\left.\frac{1}{2}\sin2x+\frac{1-\cos2x}{2}=2\quad\right/\cdot2\\
\sin2x+1-\cos2x=4\\
\sin2x-\cos2x=3[/dispmath]
Pošto se i sinus i kosinus nalaze u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], to znači da njihova razlika ne može biti veća od [inlmath]2[/inlmath], a ovde smo dobili da je njihova razlika [inlmath]3[/inlmath], iz čega odmah vidimo da ova jednačina nema rešenja.

---

Evo još jednog načina (ne kažem da je mnogo jednostavniji od ovog tvog).
Kad si došao do koraka

Sinisa je napisao:onda sam izvukao [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade a u zagradi mi je ostalo [inlmath]2\cos^2x+1[/inlmath]

a to je jednako [inlmath]\cos2x+2=2\cos^2x+1[/inlmath]

i dobio [inlmath]\sin x\left(\cos2x+2\right)=2\cos x[/inlmath], podelimo obe strane sa [inlmath]\sin x[/inlmath] (naravno, prethodno se uverivši da [inlmath]\sin x[/inlmath] ne može biti jednako nuli):
[dispmath]\cos2x+2=2\mathrm{ctg}\:x[/dispmath]
Pošto je leva strana jednačine uvek veća od nule (štaviše, uvek je veća ili jednaka [inlmath]1[/inlmath]), mora biti pozitivna i desna strana, što znači da se [inlmath]x[/inlmath] može nalaziti jedino u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Uz postavljanje ovog uslova, možemo kvadrirati obe strane:
[dispmath]\cos^22x+4\cos2x+4=4\mathrm{ctg}^2x[/dispmath]
Pošto nam na levoj strani jednačine figuriše samo [inlmath]2x[/inlmath], izrazićemo i desnu stranu preko [inlmath]2x[/inlmath]. Kako na desnoj strani imamo kvadrat kotangensa, to nam je zgodno da možemo primeniti formulu [inlmath]\mathrm{ctg}^2\alpha=\frac{1+\cos2\alpha}{1-\cos2\alpha}[/inlmath]:
[dispmath]\left.\cos^22x+4\cos2x+4=4\frac{1+\cos2x}{1-\cos2x}\quad\right/\cdot\left(1-\cos2x\right)\\
\left(\cos^22x+4\cos2x+4\right)\left(1-\cos2x\right)=4+4\cos2x[/dispmath]
Smena [inlmath]\cos2x=t[/inlmath],
[dispmath]\left(t^2+4t+4\right)\left(1-t\right)=4+4t\\
-t^3-3t^2+\cancel4=\cancel4+4t\\
t^3+3t^2+4t=0\\
t\left(t^2+3t+4\right)=0\\
t=0\quad\lor\quad t^2+3t+4=0[/dispmath]
Kvadratna jednačina [inlmath]t^2+3t+4=0[/inlmath] nema rešenja (diskriminanta joj je manja od nule), tako da ostaje samo [inlmath]\cos2x=0[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath]. Zbog prethodno postavljenog uslova da [inlmath]x[/inlmath] može biti samo u [inlmath]I[/inlmath] ili u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, rešenje se svodi na [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath].

[inlmath]\sin x\cos x+\sin^2x=2[/inlmath]

ja sam [inlmath]2[/inlmath] zapisao kao [inlmath]2\cdot\left(\sin^2x+\cos^2x\right)[/inlmath]

i na kraju kada sam citavu tu jednacinu podjelio sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] dobio sam kvadratnu jednacinu [inlmath]-t^2+t-2=0[/inlmath]

sledeci put moram razmisljati o intervalu u kojem se nalaze [inlmath]\sin[/inlmath] i [inlmath]\cos[/inlmath] , ovako produzim zadatak za duplo

mozes li ovde samo napisati kako si ti dosao do rjesenja [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath] zato sto mislim da je moje dosta komplikovano

Bio sam uvjeren da postoji neki fazon da se ovaj zadatak skrati nekako. Mada i moje rješenje je dosta dugo ali na kraju se dobije isto. Samo jedno tačno rješenje i ostala koja otpadaju.

Sinisa je napisao:i na kraju kada sam citavu tu jednacinu podjelio sa [inlmath]\cos^2x[/inlmath] dobio sam kvadratnu jednacinu [inlmath]-t^2+t-2=0[/inlmath]

... a diskriminanta te kvadratne jednačina je negativna, prema tome, nisi nikako mogao dobiti ona realna rešenja...

Sinisa je napisao:mozes li ovde samo napisati kako si ti dosao do rjesenja [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath] zato sto mislim da je moje dosta komplikovano

Govoriš o ovom mom postupku, o ovom poslednjem koji sam pokazao?
Rešenje [inlmath]\cos2x=0[/inlmath] je, u kombinaciji s uslovom da [inlmath]x[/inlmath] pripada [inlmath]I[/inlmath] ili [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, zapravo isto što i [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath]. Jer, iz toga sledi da je [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/inlmath], što bi se takođe dobilo i iz [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath].

A može se to i ovako posmatrati:
[dispmath]\cos2x=0\quad\Rightarrow\quad\cos^2x-\sin^2x=0\quad\Rightarrow\quad\left(\cos x+\sin x\right)\left(\cos x-\sin x\right)\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad\cos x+\sin x=0\quad\lor\quad\cos x-\sin x=0\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad\cos x=-\sin x\quad\lor\quad\cos x=\sin x\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad\cancel{x=-\frac{\pi}{4}+k\pi}\quad\lor\quad\enclose{box}{x=\frac{\pi}{4}+k\pi}[/dispmath]

[inlmath]\cos x=\sin x[/inlmath] u [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]... tj u [inlmath]45^\circ[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]

nisam se uopste obazirao na to [inlmath]-1[/inlmath] pored kvadratnog clana kad sam racunao diskriminantu :O

pitao sam te da ovde napises kako si ti dosao do tog rjesenja [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath]... postupak me zanima, moj postupak je dosta dug i komplikovan... ti uvijek imas jednostavniji put do rjesenja

Sinisa je napisao:[inlmath]\cos x=\sin x[/inlmath] u [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]... tj u [inlmath]45^\circ[/inlmath], a ne [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]

Sorry, greška... Ispravio sam, da ne bi bilo zabune. Hvala na zapažanju.

Sinisa je napisao:pitao sam te da ovde napises kako si ti dosao do tog rjesenja [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath]... postupak me zanima, moj postupak je dosta dug i komplikovan... ti uvijek imas jednostavniji put do rjesenja

E, pa ovaj put nemam. Pokazao sam svoj način rešavanja kojim dolazim do [inlmath]\cos2x=0[/inlmath], što se posle svodi na isto kao i [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath], ali kad ne bih radio na taj način koji sam pokazao, onda bih do [inlmath]\sin x=\cos x[/inlmath] došao na isti način kao i ti...

Evo imam ja i jedan svoj način rješavanja za koji nisam baš siguran da je ispravan.Pa eto da postavim.
[dispmath]\sin2x+\mathrm{tg}\:x=2[/dispmath][dispmath]\mathrm{tg}\:x=2-\sin2x[/dispmath]
Desna strana strogo je pozitivna pa mora biti i lijeva i ugao se mora nalaziti u prvom ili trećem kvadrantu mada to ispada u ovome slučaju da nije ni bitno.Naravo uz ovaj uslov kvadriramo.
[dispmath]\left.\pm\sqrt{\frac{1-\cos2x}{1+\cos2x}}=2-\sin2x\quad\right/()^2[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x-4\sin2x+4-\frac{1-\cos2x}{1+\cos 2x}=0[/dispmath][dispmath]\frac{\sin^2 2x(1+\cos2x)-4\sin2x(1+\cos2x)+4(1+\cos2x)-1+\cos2x}{1+\cos2x}=0[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x(1+\cos2x)-4\sin2x(1+\cos2x)+4(1+\cos2x)-1+\cos2x+1-1=0[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x(1+\cos2x)-4\sin2x(1+\cos2x)+4(1+\cos2x)+(1+\cos 2x)-2=0[/dispmath][dispmath]\sin^2 2x(1+\cos2x)-4\sin2x(1+\cos2x)+4(1+\cos2x)+(1+\cos2x)=2[/dispmath][dispmath](1+\cos2x)(\sin^2 2x-4\sin2x+5)=2[/dispmath]
E sada posmatramo ova dva činioca za prvi znamo da se mora nalaziti u intevalu [inlmath]x\in[0,2][/inlmath] a drugi u intervalu [inlmath]x\in[2,10][/inlmath].I zaključimo da njihov proizvod može biti [inlmath]2[/inlmath] u slučaju kada je prvi činilac [inlmath]1[/inlmath] a drugi [inlmath]2[/inlmath] , kada je prvi [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] a drugi [inlmath]4[/inlmath] i kada je prvi [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] a drugi [inlmath]8[/inlmath].E sada iz prvoga slučaja se dobije rješenje koje zadovoljava oba činioca(konjukcija) [inlmath]\enclose{box}{x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}}[/inlmath].Drugi slučaj otpada jer se dobiju različita rješenja a treći slučaj kao i drugi.

mislim da se ovo slucajno potrefilo, da je neki komplikovaniji zadatak bilo bi nemoguce razmatrati sve mogucnosti

Gamma je napisao:E sada posmatramo ova dva činioca za prvi znamo da se mora nalaziti u intevalu [inlmath]x\in[0,2][/inlmath] a drugi u intervalu [inlmath]x\in[2,10][/inlmath].I zaključimo da njihov proizvod može biti [inlmath]2[/inlmath] u slučaju kada je prvi činilac [inlmath]1[/inlmath] a drugi [inlmath]2[/inlmath] , kada je prvi [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] a drugi [inlmath]4[/inlmath] i kada je prvi [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] a drugi [inlmath]8[/inlmath].

Interesuje me kako si odredio baš ova tri slučaja. Zbog čega nisi, na primer, razmatrao mogućnost da je prvi činilac [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath] a drugi [inlmath]10[/inlmath] (tada im je proizvod takođe [inlmath]2[/inlmath])? Ili, da je prvi činilac [inlmath]\frac{14}{37}[/inlmath] a drugi [inlmath]\frac{37}{7}[/inlmath]? Imaš beskonačno slučajeva koje bi na taj način trebalo razmatrati, a ti si razmatrao samo ta tri...

Sinisa je napisao:mislim da se ovo slucajno potrefilo

Eto nek se tebi neslučajno potrefilo u jednačini s tangenstom gdje se dobiju dva netačna rješenja.Ja sam odmah rekao da nisam siguran za postupak.

Daniel je napisao:Interesuje me kako si odredio baš ova tri slučaja.

Da upravu si,jeste da će postojati beskonačno mnogo činioca.Prvi slučaj je i jedini kod kojega će se dobiti standardne vrijednosti uglova.I ispada da on predstavlja tačno rješenje,jer jednačina stvarno ima samo to rješenje.Za bilo koji drugi slučaj dobiće se sigurno neki deseti uglovi koji naravno nikada neće moći da budu zajednički(konjukcija).Ova druga dva slučaja sam postavio da to nekako dokažem.Bilo bi dobro da je reklo na početku zadatka da rješenja moraju biti standardni uglovi jeste da u većini slučajeva i jeste tako ali za ovaj ne znamo.Kao što sam već rekao nisam siguran za postupak samo pokušavam.Ima ovaj postupak nekoga smisla eto ako ne možemo utvrditi sva rješenja možemo utvrditi rješenja koja imaju te standarde uglove.A ovo ostalo možda bi se i moglo nekako obrazložiti ja već razmišljam o tome.

pa ima beskonacno mnogo kombinacija, i ti si naletio bas na tu koja jedina ima rjesenje - to je SLUCAJNOST!

ja sam ovaj zadatak za razliku od tebe uradio...

Sinisa je napisao:ja sam ovaj zadatak za razliku od tebe uradio...

Vidio sam kako si ga uradio s viškom rješenja .Po čemu si zaključio da ga ja nisam uradio?Napisao sam već ranije da imam jedno rješenje koje je dugo dosta i slično tvome i dobije se isti rezultat.A ovo je drugo rješenje baš je suprotno od prvoga.Kratko je stane na jedan list i naglašeno da nije konačno već samo neki pokušaj.I tu nema šta.

Kako si ga ti uradio? Samo mi reci na koji fazon.Pokušavao sam da svedem sve na tangens ali izgleda tako se ne radi.Možda bi moglo nešto kada bih koristio tangens polovičnoga ugla tada bi sve bilo svedeno na isti ugao.

-naravno kada sam ti ja objasnio kako... a taj visak rjesenja je greska u racunu za razliku od tvojih beskonacno mnogo kombinacija koje su rezulat nedostatka neceg drugog

Nemoj me tjerati da moram ponovo pisati 50 redova latexa.Mrsko mi je.To je bilo samo pianje,ako sam pokušavo ne znači da nisam uspio.Biće isto kao za onu proporciju.

pa ne mogu te natjerati na nesto sto ne mozes...

Ej ne mogu?
[dispmath](\mathrm{tg}\:x-1)\left(\mathrm{tg}^2x-\mathrm{tg}\:x+2\right)=0[/dispmath]

ne mogu ti odgovoriti na to pitanje jer se iz ovoga ne vidi da li mozes ili ne mozes...

po tome ti imas dva rjesenja, posto tg moze biti [inlmath]+1[/inlmath] u prvom i trecem kvadrantu...

rjesenje ti je tacno

Naravno da je tačno jer se samo dobije jedno rješenje [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath]. A drugo otpada jer se dobije kvadratna jednačina s negativnom diskriminantom.

Evo da sa nadovežem na ovu temu, znam da je malo zastarila. Ali biće ovo od koristi sigurno.Zadatak se može raditi na mnogo jednostavniji način. Pa zato mislim da ovo treba da napišem. U većini slučajeva kada imamo tangens uvijek sinus i kosinus treba da svedemo na tangens, jer tako je dosta jednostavnije. Ključna formula je [inlmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath]. Poslije je sve lako. Ono što mene zanima su formule ovog tipa. Ja ih se ne sjećam s redovne nastave. Neko moje mišljenje je da ova formula nija standardna(mislim nije kao neka elementarna), one se izvodi kada izrazimo sinus i kosinus preko tangensa. U brojniku i nazivniku se pokrate korijen i kvadrat. Sada ako neko nešto zna za ovu formulu ili formule ovoga tipa neka kazuje

Gamma,
ne znam da li si na ovaj tutorijal obratio pažnju, ja ti ga zaista preporučujem.
Do sada ga je videlo preko [inlmath]3000[/inlmath] ljudi.

Ma jesam sve pregledao davno. Ja bih rekao prije da ima ovaj zadatak više veze s ovim tutorijalom.

Gamma je napisao:Ma jesam sve pregledao davno.

Pa davno si gledao .
I po mom mišljenju Ovaj tutorijal je sjajan.
Ali mislio sam da je više u skladu sa tvojim pitanjem da još jednom pogledaš ovaj koji sam preporučio, ipak si ga davno gledao

evo ja cu pokusati da ti izvedem tu formulu
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x\\
\sin x=\frac{\mathrm{tg}\:x}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2x}}\\
\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{tg}^2x}}\\
\sin2x=2\sin x\cos x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath]

Pazi na predznak gdje ti je [inlmath]\pm[/inlmath]? To me jednim dijelom zbunjuje. Ne znači da će kosinus i sinus za neki ugao uvijek imati isti predznak. Naravno formula je uvijek tačna. Samo je predznak problem.

Ova tema mi postaje sve zanimljivija .
Hajde da postavimo pravila igre:
Identitet je jednačina zadovoljena za svaku vrednost promenljive.
Da li se slažete sa tim?
A ako se slažete, koje od četiri jednačine koje je postavio Sinisa su identiteti?

za prvi i treci kvadrant predznak ce biti [inlmath]+[/inlmath] a za drugi i cetvrti ce biti [inlmath]-[/inlmath], ali u ovom slucaju jedino rjesenje se nalazi u prvom kvadrantu...

samo prva jednacina je identitet... mi mozemo dovesti u vezu kvadrat sinusa ili kosinusa sa tangensom, ali ako hocemo samo sinus ili kosinus onda moramo paziti na predznak

@Sinisa,
sasvim tačan odgovor.
Ali šta je sa tvojom četvrtom, hajde da je nazovem "trostrukom" jednačinom?

Sinisa je napisao:za prvi i treci kvadrant predznak ce biti [inlmath]+[/inlmath] a za drugi i cetvrti ce biti [inlmath]-[/inlmath]

nije identitet...

Ovde kaže da jeste.

Pusti Volfram, jači smo od njega
I ja mislim da je Sinisina "trostruka" identitet.

Ja sam to rekao odmah na početku. Ali stvarno nemam blage veze kako to dokazati

Fora je sigurno u brojiocu jer on igra ulogu predznaka.

sinus je pozitivan u drugom kvadrantu, ako se [inlmath]2x[/inlmath] nalazi u drugom kvadrantu onda se [inlmath]x[/inlmath] nalazi u prvom ili trecem kvadrantu i tada je tangens pozitivan, (kod onih pocetnih jednacina u prvom kvadrantu pred oba ona izraza ce biti predznak [inlmath]+[/inlmath] a kada je u pitanju treci kvadrant predznak ce biti [inlmath]-[/inlmath])... tako da ce u konacnom slucaju uvijek biti predznak [inlmath]+[/inlmath]

isto se moze zakljuciti i za cetvrti kvadrant

Gamma je napisao:Ključna formula je [inlmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath]. Poslije je sve lako. Ono što mene zanima su formule ovog tipa.

Slazem se da ove formule za sinus i kosinus dvostrukog ugla izrazene preko tangensa nisu standardne, tj. ne koriste se nesto mnogo u skoli, ali veoma lako ih je izvesti tako da ne bi trebalo da predstavljaju neki veliki problem.

Mislim da mora postojati striktan dokaz, bez toga teoretskog dijela. Ali nema veze, pričekaćemo odgovor nekog stručnijeg.
@Ilija, eto probaj da izvedeš. Pa onda nam napiši postupak

ogranicen si...

Tema se stvarno rasplamsala, onako forumski...
Nemojte upotrebljavati reči koje nisu baš u skladu s Pravilnikom. Molim vas.

Sinisa je napisao:ogranicen si...

Ovo baš i nije ok, ali hajde da ublažim. Momci matematičke struke (kako misle devojke matematičke struke) su konvergentni.
Jer su ograničeni i monotoni.

Priznajte da ovo nije loše .

izvinjavam se, nisam htio nikoga uvrijediti... posto sam vec ustanovio zbog cega @gamma treba dodatno objasnjenje, razlozi su opravdani, ja cu mu ga i dati
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x\\
\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/dispmath]
ako je [inlmath]\sin2x[/inlmath] pozitivan onda je pozitivan i [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath], jedan je proizvod dva broja a drugi je kolicnik...

[inlmath]1+\mathrm{tg}^2x[/inlmath] je pozitivno za svako [inlmath]x[/inlmath]

@gamma, pokusaj ovu formulu izvesti tako sto ces naci [inlmath]\sin^22x[/inlmath] i kada taj izraz korijenujes dobices jednakost, vec sam ti objasnio zbog cega u prethodnim redovima...

Sinisa je napisao:ogranicen si...

Ne ukapirah na koga se ovo odnosilo, ali svakako

Gamma je napisao:Mislim da mora postojati striktan dokaz, bez toga teoretskog dijela. Ali nema veze, pričekaćemo odgovor nekog stručnijeg.
@Ilija, eto probaj da izvedeš. Pa onda nam napiši postupak

Pak, izvodjenje ovih formula moze se pronaci u knjigama, na internetu... Znaci, nisu one toliko misteriozne, ali evo da ih napisem ovde:

Sinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{2\sin x\cos x}{1}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{2\sin x\cos x}{\sin^2x+\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{\cancel{\cos^2x}\cdot\frac{2\sin x}{\cos x}}{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1\right)}[/dispmath][dispmath]\sin2x=\frac{\frac{2\sin x}{\cos x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]
Kosinus dvostrukog ugla:
[dispmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{1}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)}{\cancel{\cos^2x}\cdot\left(\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1\right)}[/dispmath][dispmath]\cos2x=\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+1}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\cos2x=\frac{1-\mathrm{tg}^2x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]

@Siniša, iako mi se svideo tvoj način razmišljanja i zaključak da [inlmath]\sin2x[/inlmath] i [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] moraju biti istog znaka, Gammina želja da se identitet izvede uz manje priče a više egzaktnog matematičkog računa, sasvim je legitimna i opravdana.
Takođe, podsetio bih te na tačku 2. Pravilnika

---

Ilijin račun je skroz tačan. Ipak, mislim da može i malo jednostavnije:
[dispmath]\sin2x=2\sin x\cos x=2\sin x\cos x\cdot\frac{\cos x}{\cos x}=2\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^2x=2\mathrm{tg}\:x\cos^2x[/dispmath]
Zatim se primeni poznata formula za vezu kosinusa i tangensa, [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath] (možete je videti i u ovoj temi), čime se dobije [inlmath]\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath].

Slično i za [inlmath]\cos2x[/inlmath] (kad ga je već Ilija spomenuo),
[dispmath]\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=\cos^2x\cdot\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}=\cos^2x\left(1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}\right)=\cos^2x\left(1-\mathrm{tg}^2x\right)[/dispmath]
i, nakon primene iste formule [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath], dobije se [inlmath]\frac{1-\mathrm{tg}^2x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/inlmath].

Ipak sam bio u pravu. Ne bi bilo lose da nego napravi jos jedan tutorial za formule ovog tipa. Imao bih ja neku volju ali vidjecemo..
@Ilija, Iz koje je ovo knjige za trigonometriju? Imam ja onu za 4 casa sedmicno (Tosic i Seselja,I. Sarajevo) ali to tu nisam mogao naci.

Samo mala korekcija. Ovo jeste identitet:
[dispmath]\enclose{box}{\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}}[/dispmath]
Svideli su mi se dokazi i Ilije i Daniela.
Ali u sklopu dokazivanja obojica delite kosinusom. Treba reći da onda dokaz važi samo za [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath]
Doduše važi jednakost i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath] ali bi to trebalo naglasiti.

Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath]. Zbog toga je deljenje kosinusom opravdano, ali OK, svakako nije zgoreg to i napomenuti.

Ne bih se složio da ovaj identitet važi i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath], jer u tom slučaju imamo deljenje nedefinisanog izraza nedefinisanim izrazom.

Daniel je napisao:Ne bih se složio da ovaj identitet važi i za [inlmath]\cos x=0[/inlmath], jer u tom slučaju imamo deljenje nedefinisanog izraza nedefinisanim izrazom.

Sasvim tačno.
Ali eto ja sam i "lopitalio" pa dobih da je ok.

Evo i da dopunim odgovor, možda nije dovoljno jasno:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin2x=0[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}=0[/dispmath]
Mislim da ovim nisam smanjio opštost (tipa plus minus [inlmath]k\pi[/inlmath]).
A hajde i ovo da razjasnimo:
Ja mislim da je identitet ona jednačina koja je zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath].
Ispravite me ako grešim .

Ovime si pokazao da taj identitet važi kada [inlmath]x[/inlmath] teži vrednosti [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali ne i kada je [inlmath]x[/inlmath] jednako toj vrednosti.

Da, u pravu si
Sve više mi se sviđa tema .
Ali hajde ovako:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath]
Ako bismo sad zamenili [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] i potom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

Daniel je napisao:Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x≠0[/inlmath].

Ako je identitet, to treba i dokazati.
Ne može se tvrditi da je nešto identitet dok se ne dokaže da važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

desideri je napisao:Ali hajde ovako:
[dispmath]\sin2x=\frac{2\mathrm{tg}\:x}{1+\mathrm{tg}^2x}[/dispmath]
Ako bismo sad zamenili [inlmath]\mathrm{tg}\:x=\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] i potom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]?

Dobili bismo deljenje nulom, jer bi bilo [inlmath]\cos x=\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

desideri je napisao:Ne može se tvrditi da je nešto identitet dok se ne dokaže da važi za svako [inlmath]x[/inlmath].

Za ovo nisam siguran, trebalo bi negde proveriti (ako imaš merodavan izvor) šta se tačno podrazumeva pod pojmom matematički identitet, tj. da li neki matematički iskaz predstavlja identitet i ako ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath], pri čemu je naglašeno za koje vrednosti [inlmath]x[/inlmath] nije zadovoljen/definisan.

Možda teram mak na konac, ali pogledaj ovo:

Daniel je napisao:Čim u identitetu figuriše tangens, jasno je da tangens mora biti definisan, a [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] je definisan akko je [inlmath]\cos x\ne0[/inlmath].

Potom je bilo:

Daniel je napisao:Dobili bismo deljenje nulom, jer bi bilo [inlmath]\cos x=\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

Ne može se dobiti deljenje nulom ako figuriše tangens. To zaključujem iz ova dva citata.
Ali je najverovatnije da se ne razumemo. Navešću izvore za identitet.

Pa, biće da se nešto ne razumemo. Ovako kako si napisao, ne vidim šta je tu sporno. Ako tangens ostavimo kao tangens – za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] imamo [inlmath]\mathrm{tg}\frac{\pi}{2}[/inlmath], što je nedefinisan izraz. Ako tangens napišemo kao [inlmath]\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath] – za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] imamo deljenje nulom, jer je [inlmath]\cos\frac{\pi}{2}=0[/inlmath].

Obrni-okreni, za [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath] u svakom slučaju dobijamo nedefinisani izraz.

Ja uopšte više nisam siguran u vezi s matematičkim značenjem reči "identitet".
Mislim da je tu zabuna.

Neki autori (mislim na literaturu, knjige, udžbenike i net) misle jedno, drugi drugo. Nisam konkretno pitao ljude, ne stigoh.
Evo ovako:

• Identitet je jednačina zadovoljena za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]. Baš svako [inlmath]x[/inlmath]. Tu se još navodi i kao simbol poznat u "našem" Latexu: [inlmath]\equiv[/inlmath] . I čita se "identički jednako".

druga varijanta:

• Identitet je jednačina zadovoljena za svako [inlmath]x[/inlmath] za koje su sve funkcije koje figurišu u jednačini definisane.

Ovo drugo bi bilo sasvim u skladu sa svim što reče Daniel, ono prvo u skladu s onim što ja rekoh.
Ali mislim da je tema dovoljno opterećena, uostalom data su tačna izvođenja, tako da predlažem da se otvori nova.
Na temu "Šta je identitet?"