MATEMANIJA

E ovako zanima me samo da li je moguće riješiti ovu jednačinu bez kvadriranja? Mislim postoji li ikakav način rješavanja sem toga? Ja sam pokušavalo ali nije mi se dalo.Znam da kvadriranju ne fali ništa u ovome slučaju ali jednostavno interesuje me.
[dispmath]2\sin x+\cos x=2[/dispmath]

Da, moguće je bez kvadriranja.
[dispmath]A\sin x+B\cos x=a\sin\left(x+\varphi\right)[/dispmath]
gde je
[dispmath]a=\sqrt{A^2+B^2},\quad\varphi=\begin{cases} \mathrm{arctg}\frac{B}{A}, & A>0\\ \\ \mathrm{arctg}\frac{B}{A}+\pi, & A<0 \end{cases}[/dispmath]
Radi objašnjenja i dokaza, pogledaj ovaj post.

Već sam pokušavao na ovu foru ali zbunjuje me kako doći do rezultata kada se za [inlmath]\varphi[/inlmath] ne dobije cjelobrojni ugao.Pitanje je kako naći tačno [inlmath]x[/inlmath]?
[inlmath]\varphi=26^\circ33'54''[/inlmath][dispmath]\sin(\varphi+x)=\frac{2}{\sqrt5}[/dispmath]

Izraziš [inlmath]x[/inlmath] preko inverznih trigonometrijskih funkcija.
Ako vam je dozvoljeno da koristite kalkulator – izračunaš tačnu vrednost. Ako kalkulator nije dozvoljen – ostaviš tako.

Na žalost kalkulator nije dozvoljen.Čak kada bih izrazio vrijednost ugla preko arcusa, ne znam da li bi mi to priznali. Jer postoji cjelobrojno rješenje jednačine sigurno.Ipak radiću zadatke ovakvog tipa uvijek preko kvadriranja.

Ne postoji celobrojno rešenje ove jednačine. Postoji rešenje [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], i to rešenje jeste celobrojni umnožak broja [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], ali nije celobrojno.

Ovaj zadatak je definitivno bolje raditi preko kvadriranja, jer se tada bez problema dobije malopre napisano rešenje u tom obliku, dok primenom formule [inlmath]A\sin x+B\cos x=a\sin\left(x+\varphi\right)[/inlmath] ne bismo mogli baš lako doći do rešenja i tom jednostavnom zapisu. Međutim, postoje zadaci u kojima je ta formula vrlo korisna, pa i neophodna, ali ovo nije jedan od takvih zadataka.

Ipak, pored rešenja [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], u ovom zadatku imaš još jedno rešenje, koje, bez obzira na koji način da radiš, ne možeš nikako izraziti drugačije nego preko inverznih trigonometrijskih funkcija, a to je rešenje [inlmath]x=\arccos\frac{4}{5}+2k\pi[/inlmath].

Da naglasim samo, zbog onih koji bi pokušali sami da urade ovaj zadatak, da je neposredno pre kvadriranja jednačine, nakon prebacivanja kosinusa na desnu stranu, potrebno postaviti uslov da je [inlmath]\sin x>0[/inlmath]. Tek uz taj uslov kvadriranje se sme obaviti.

Neprecizno sam se izrazio. Mislo sam makar jedno standardno rješenje. Sada ne znam može li se i ovako reći. Ali mislim na ove uglove koji se često korsite.To oko kvadriranja mi je jasno. Ne predstavlja nikakav problem.Ali kad smo već kod tih cjelobrojnih rješenja. Nisam ovo skontao oko cijelobrojnih umnožaka. Šta podrazumjevaš pod cijelobrojnim umnoškom?Jer [inlmath]\pi[/inlmath] je iracionalan broj tako da ako ga pomnožimo s bilo čim on ostaje iracionalan.Ja predpostavljam da cijelobrojni umnožak znači da za bilo koje [inlmath]k[/inlmath] iz cijelih brojeva može naći cijeli broj koji će množiti [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Evo tek sad mi pade na pamet. Kada sam rekao cijelobrojno rješenje mislio sam na rješenje ugla u stepenima jer dobije se [inlmath]90^\circ+2k180^\circ[/inlmath].Jeste da se uvijek koriste radijani u jednačinama ali eto...

Gamma je napisao:Ja predpostavljam da cijelobrojni umnožak znači da za bilo koje [inlmath]k[/inlmath] iz cijelih brojeva može naći cijeli broj koji će množiti [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].

Dobro, pročitaš li ti uopšte to što napišeš pre nego što stisneš „Pošalji“?

Sad nisam pročitao.I ne sjećam se šta sam juče napisao nabrzaka sam to smlatio jer sam morao da ustanem rano jutros.Izgleda ovako debilno napisano ali sigurno znaš na šta mislim.

Gamma je napisao:ali sigurno znaš na šta mislim.

Iskreno da ti kažem, nemam ideju.

Celobrojni umnožak nekog broja predstavlja proizvod tog broja i bilo kog celog broja.

Upravo to sam i mislio.Za bilo koju vrijednost [inlmath]k[/inlmath] postojaće cijelobrojni umnožak.