MATEMANIJA

Neka je [inlmath]S[/inlmath] skup svih realnih rešenja nejednačine [inlmath]\mathrm{tg}\:x\left(1-\mathrm{tg}^2x\right)\left(1-3\mathrm{tg}^2x\right)(1+\mathrm{tg}\:2x\cdot\mathrm{tg}\:3x)>0[/inlmath] i neka je [inlmath]S_1\subset S[/inlmath]. Tada skup [inlmath]S_1[/inlmath] može biti:
[dispmath](A)\;\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\quad\enclose{box}{(B)\;\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)}\quad (C)\;\left(\frac{3\pi}{4},\pi\right)\quad (D)\;\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)\quad (E)\;\left(\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right)\quad (N)\;\mbox{Ne znam}[/dispmath]
Rešavanjem jednačine dobije se da je [inlmath]k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], odnosno da je [inlmath]S\in\left(k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] uz uslov da [inlmath]k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

Ono što me buni u zadatku je kako da odredim podskup [inlmath]S_1[/inlmath]?

Pretpostavljam da je ovo zadatak sa nekog prijemnog ispita, za neki tehnički fakultet. Evidentno je da se podskup skupa [inlmath]S[/inlmath] ne može odrediti jednoznačno, jednostavno nije zadat nikakav uslov i može se definisati beskonačno mnogo podskupova skupa [inlmath]S[/inlmath]. Ali, pošto je ovo prijemni ispit, dešavalo se da se do tačnog odgovora dolazi eliminacijom svih ponuđenih odgovora osim jednog. Ovde tako i mora da se uradi. Naime, osim zaokruženog odgovora, svi ostali iskaču iz intervala tvog rešenja nejednačine, to jest iz oblasti definisanosti skupa [inlmath]S[/inlmath].

kod nas na prijemnim u BIH nema ponudjenih odgovora, zato cesto znaju biti dosta tezi... kod ovih zadataka sa ponudjenim odgovorima cesto mozes doci do pravog diskriminacijom netacnih

Nije mi jasno kako odgovor pod [inlmath]B[/inlmath] ne istupa iz intervala. Po meni je to odgovor pod [inlmath]D[/inlmath].

Sasvim si u pravu, i ja sam to posle video. Ali, uklapa se i pod [inlmath]B[/inlmath] ako se stavi [inlmath]k=0[/inlmath]. No, možda su mislili da nula ne pripada skupu celih brojeva ([inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]).
A pravo da ti kažem, nisam proveravao tvoje rešenje, verujem na reč da je tačno

Da, [inlmath]S\in\left(k\pi,\;\frac{\pi}{2}+k\pi\right)[/inlmath] je tačno rešenje ovog zadatka i predstavlja sve uglove u [inlmath]I[/inlmath] i [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, ne računajući granice tih kvadranata.

desideri je napisao:No, možda su mislili da nula ne pripada skupu celih brojeva ([inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath]).

Ne bih rekao da je to u pitanju. Ima autora koji se ne slažu po tome da li nula pripada skupu prirodnih brojeva ili ne, ali svi se slažu da nula pripada skupu celih brojeva.
Osim toga, uvrštavanjem bilo koje vrednosti iz intervala pod [inlmath]B[/inlmath] dobije se da je nejednačina zadovoljena, a takođe, u zadatku je odgovor [inlmath]B[/inlmath] uokviren kao tačan.

Po ovome kako je napisano, zaista bi trebalo da su tačni i [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath]. Ali, budući da je kod ovakvih zadataka sa prijemnih ispita uvek tačan jedan i samo jedan od ponuđenih odgovora, verovatno je ili u pitanju štamparska greška, ili je u pitanju greška u kucanju zadatka ovde na forumu. Da ne treba pod [inlmath]D[/inlmath] možda da piše [inlmath]\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right][/inlmath] (tj. desna granica intervala da bude zatvorena)? U tom slučaju [inlmath]D[/inlmath] ne bi bio tačan odgovor, pa bi [inlmath]B[/inlmath] preostao kao jedini tačan.

Ovo je zadatak:

E stvarno opasna zamka, tek sam sad provalio. Zbog definicionih uslova tangensa, mora biti ispunjeno
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
2x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
3x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi
\end{array}\quad\right\}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\
x\ne\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}
\end{array}[/dispmath]
pa interval [inlmath]\left(\frac{7\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath] otpada, jer se u njemu nalazi i vrednost [inlmath]\frac{5\pi}{4}[/inlmath] koja zapravo predstavlja [inlmath]\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/inlmath] za [inlmath]k=2[/inlmath]...

[inlmath]\text{tg }x\left(1-\text{tg}^2x\right)\left(1-3\text{tg}^2x\right)\left(1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x\right)>0[/inlmath]
Sad sređujemo deo po deo:
[dispmath]\text{tg }x=\frac{\sin x}{\cos x}\;\Rightarrow x\;\ne\frac{\pi}{2}+k\pi\\
1-\text{tg}^2x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}\\
1-3\text{tg}^2x=\frac{\cos^2x-3\sin^2x}{\cos^2x}\\
\begin{align}
\phantom{aaaaaaa}1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin\left(2x+x\right)}{\cos\left(2x+x\right)}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin2x\cos x+\cos2x\sin x}{\cos2x\cos x-\sin2x\sin x}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{2\sin x\cos^2x+\cos^2x\sin x-\sin^3x}{\cos^3x-\sin^2x\cos x-2\sin^2x\cos x}\\
&=1+\frac{2\sin x\cancel{\cos x}}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\cancel{\cos x}\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=1+\frac{2\sin x\cos x}{\cos^2x-\sin^2x}\cdot\frac{\sin x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\cos^2x-3\sin^2x}\\
&=\frac{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)+2\sin^2x\left(3\cos^2x-\sin^2x\right)}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{\left(2\cos^2x-1\right)\left(4\cos^2x-3\right)+\left(2-2\cos^2x\right)\left(4\cos^2x-1\right)}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{\cancel{8\cos^4x}-\cancel{6\cos^2x}-\cancel{4\cos^2x}+3-\cancel{8\cos^2x}-2-\cancel{8\cos^4x}+\cancel{2\cos^2x}}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}\\
&=\frac{1}{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}
\end{align}[/dispmath]
Ovde isključujemo
[dispmath]x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\
x\ne\frac{\pi}{6}+k\pi\\
x\ne\frac{5\pi}{6}+k\pi[/dispmath]
Sad sve sređene izraze uvrstimo u početni izraz
[dispmath]\text{tg }x\left(1-\text{tg}^2x\right)\left(1-3\text{tg}^2x\right)\left(1+\text{tg }2x\cdot\text{tg }3x\right)>0\iff\\
\iff\text{tg }x\cdot\frac{\cancel{\cos^2x-\sin^2x}}{\cos^2x}\cdot\frac{\cancel{\cos^2x-3\sin^2x}}{\cos^2x}\cdot\frac{1}{\cancel{\left(\cos^2x-\sin^2x\right)}\cancel{\left(\cos^2x-3\sin^2x\right)}}>0\\\
\\\
\Rightarrow\;\frac{\text{tg }x}{\cos^4x}>0\\
\text{tg }x>0[/dispmath]
Napravio sam grafik zadate funkcije u intervalu [inlmath]\left[-\pi,2\pi\right][/inlmath]


[dispmath]\text{tg }x>0\;\Rightarrow\;x\in\left(-\pi,-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\\
\cup\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/dispmath]
Sva ponuđena rešenja osim [inlmath]\left(B\right)\left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] koje se nalazi unutar intervala [inlmath]\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] otpadaju zbog uslova koje smo dobili za vreme sređivanja izraza.

To je to. Imao bih samo jednu primedbu,

Herien Wolf je napisao:[dispmath]\text{tg }x>0\;\Rightarrow\;x\in\left(-\pi,-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{5\pi}{6},-\frac{3\pi}{4}\right)\cup\left(-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{2}\right)\cup\\
\cup\left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\pi,\frac{7\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{6},\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}\right)[/dispmath]

Ako bismo krenuli ovako da nabrajamo, onda bismo morali da ispišemo beskonačno mnogo intervala, tj. ovo napisano ne bi bili svi intervali. Morali bismo napisati i [inlmath]\left(2\pi,\frac{13\pi}{6}\right)[/inlmath], i [inlmath]\left(\frac{13\pi}{6},\frac{9\pi}{4}\right)[/inlmath] itd. do pozitivne beskonačnosti; isto tako i u suprotnom smeru: [inlmath]\left(-\frac{7\pi}{4},-\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath] itd. do negativne beskonačnosti.

Upravo zbog toga se i dodaje onaj sabirak [inlmath]+2k\pi[/inlmath], kako bismo ispisali rešenja samo za jedan opseg punog obrta po trigonometrijskoj kružnici, na koja zatim dodajemo celobrojni umnožak vrednosti [inlmath]2\pi[/inlmath]...

Doduše, u ovom zadatku bi bilo dopušteno, pošto su ponuđena rešenja u opsegu [inlmath]\left(-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath], da naglasimo da nabrajamo samo rešenja nejednačine [inlmath]\text{tg }x>0[/inlmath] koja su u tom opsegu – i onda da ih navedemo.

Slažem se sa tvojom primedbom. Mada rešenja koja sam ja ispisao se odnose na grafik u intervalu [inlmath]\left[-\pi,2\pi\right][/inlmath], al' sam ja zaboravio to da napomenem