MATEMANIJA

1. Nije mi baš jasno kako se rešenja trigonometrijskih jednačina zapisuju skupovnim oznakama.
[dispmath]\sin x=a\\
x=(-1)^k\arcsin(a)+k\pi[/dispmath]
Da li ima nekih odstupanja ili je potpuno isto i za [inlmath]\cos x,\;\mathrm{tg}\:x,\;\mathrm{ctg}\:x[/inlmath]?

2. Ako je u zadatku dat uslov, kako određujem rešenja koja zadovoljavaju dati uslov?
Potrebno je da se nađu sva rešenja jednačine koja pripadaju segmentu [inlmath]\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath]
Kada rešim datu jednačinu dobijem [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\;x=\frac{\pi}{2}+l\pi[/inlmath]
Rešenja koja zadovoljavaju uslov su [inlmath]-\frac{3\pi}{4},\;-\frac{\pi}{4},\;\frac{\pi}{4}[/inlmath] za [inlmath]k\in\left\{-2,-1,0\right\}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}[/inlmath] za [inlmath]l\in\left\{-1,0\right\}[/inlmath]. Kako?

Unapred se izvinjavam ako ova forma pitanja nije korektna.

100% korektna.

1. Uvek treba da posmatraš trigonometrijsku kružnicu. Pošto je [inlmath]\sin x=a[/inlmath], znači da će [inlmath]y[/inlmath]-projekcija kraka ugla [inlmath]x[/inlmath] biti [inlmath]a[/inlmath], kao na slici:


a sa slike vidimo da na kružnici to odgovara dvema vrednostima ugla [inlmath]x[/inlmath] – jedna je u [inlmath]I[/inlmath], a druga u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu. Pošto funkcija [inlmath]\arcsin x[/inlmath] daje vrednosti u intervalu [inlmath]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right][/inlmath] tj. u [inlmath]I[/inlmath] i u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu, znači da će [inlmath]\arcsin x[/inlmath] obuhvatiti ovu vrednost [inlmath]x[/inlmath] koja je u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu (nju zapisujemo jednostavno sa [inlmath]x=\arcsin a+2k\pi[/inlmath]), ali ne i onu koja je u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu. Ovu što je u [inlmath]II[/inlmath] kvadrantu moramo zapisati kao [inlmath]x=\pi-\arcsin x+2k\pi[/inlmath]. Dakle, imamo:
[dispmath]x=\arcsin a+2k\pi\\
x=\pi-\arcsin a+2k\pi[/dispmath]
i mislim da ti niko neće uzeti za zlo ni ako rešenje ostaviš u ovom obliku. Ipak, to se još može još srediti, tako što se druga od ove dve jednakosti napiše u obliku
[dispmath]x=\arcsin a+2k\pi\\
x=-\arcsin a+\pi+2k\pi[/dispmath]
to jest
[dispmath]x=\arcsin a+2k\pi\\
x=-\arcsin a+\left(2k+1\right)\pi[/dispmath]
pa onda ovaj plus i minus ispred arkus sinusa možemo napisati kao [inlmath]\left(-1\right)^{2k}[/inlmath], odnosno [inlmath]\left(-1\right)^{2k+1}[/inlmath]:
[dispmath]x=\left(-1\right)^{2k}\arcsin a+2k\pi\\
x=\left(-1\right)^{2k+1}\arcsin a+\left(2k+1\right)\pi[/dispmath]
i na kraju ove dve jednakosti možemo objediniti, tako što i [inlmath]2k[/inlmath] i [inlmath]2k+1[/inlmath] (pošto i parni i neparni brojevi zajedno predstavljaju ceo skup celih brojeva) napišemo kao [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]x=\left(-1\right)^k\arcsin a+k\pi[/dispmath]

Slično je i za [inlmath]\cos x,\;\mathrm{tg}\:x,\;\mathrm{ctg}\:x[/inlmath], ali nije sasvim isto. U svakom slučaju, nikako ti ne preporučujem da sve te postupke učiš napamet i da radiš mehanički, već da se uvek koristiš trigonometrijskom kružnicom i očitavaš je s razumevanjem.

---

2. Isto, uz pomoć trigonometrijske kružnice.

andrijana_ je napisao:Potrebno je da se nađu sva rešenja jednačine koja pripadaju segmentu [inlmath]\left[-\pi,\frac{\pi}{2}\right][/inlmath]

Taj segment je na sledećoj trigonometrijskoj kružnici označen zelenom bojom (uključujući i same granice te oblasti, pošto je u pitanju zatvoren interval):

andrijana_ je napisao:Kada rešim datu jednačinu dobijem [inlmath]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\;x=\frac{\pi}{2}+l\pi[/inlmath]

Takođe, evo i tih rešenja predstavljenih na trigonometrijskoj kružnici:


i sve što je zatim potrebno to je da uočiš koja od tih rešenja pripadaju oblasti obeleženoj zeleno na prethodnoj slici...