MATEMANIJA

Imam još jednu nedoumicu, da li ispravno rešavam ovu nejednačinu [inlmath]\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|\le1[/inlmath]:
Rastavila sam je na tri slučaja:
[inlmath]\begin{array}{ll}
I & -\sin x-\cos x\le1\\
II & \sin x-\cos x\le1\\
III & \sin x+\cos x\le1
\end{array}[/inlmath]

mislim da bi ovu trebala posmatrati po kvadrantima, pa u zavisnosti od kvadratna da vidis da li ce biti ispred [inlmath]-[/inlmath] ili [inlmath]+[/inlmath]...

[inlmath]\begin{array}{ll}
I & \sin x+\cos x<1\\
II & \sin x-\cos x<1\\
III & -\sin x-\cos x<1\\
IV & -\sin x+\cos x<1
\end{array}[/inlmath]

imas ova cetiri slucaja...

u sva cetiri slucaja kosinus izrazi preko sinusa

* [inlmath]\cos x=\sin(90^\circ-x)[/inlmath] i onda to rijesi kao zbir sinusa, dosta toga ce ti se pokratiti i dobices jednostavnu trigonometrijsku nejednacinu

Ahaa, vrlo logično, a ja sam gledala da je resim kao linearnu nejednačinu sa apsolutnim vrednostima. Premda dobijem dobro rešenje

Vodi računa o tome da, razmatrajući ova četiri slučaja, ispitivanjem obuhvatiš i granice između kvadranata, tj. [inlmath]0,\;\frac{\pi}{2},\;\pi,\;\frac{3\pi}{2}[/inlmath].

Pokazao bih i jedan specifičniji način rešavanja, čija je prednost ta što nije potrebno odvojeno razmatrati slučajeve.
[dispmath]\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|\le1\\
\left|\sin x\right|\le1-\left|\cos x\right|[/dispmath]
Ovo sad kvadriramo, ali prethodno postavljamo uslov, pošto je leva strana [inlmath]\ge0[/inlmath], a desna veća ili jednaka desnoj, da mora i desna strana biti [inlmath]\ge0[/inlmath], tj. [inlmath]\left|\cos x\right|\le1[/inlmath] (što je inače zadovoljeno za svako [inlmath]x[/inlmath], tako da na ovaj uslov i ne moramo obraćati pažnju). Budući da su obe strane nejednačine pozitivne, prilikom kvadriranja se ne menja smer znaka nejednakosti.
[dispmath]\sin^2x\le\left(1-\left|\cos x\right|\right)^2\\
\sin^2x\le1-2\left|\cos x\right|+\cos^2x\\
\cancel1-\cos^2x\le\cancel1-2\left|\cos x\right|+\cos^2x\\
\left.2\cos^2x-2\left|\cos x\right|\ge0\quad\right/:2\\
\cos^2x-\left|\cos x\right|\ge0[/dispmath]
Smena [inlmath]\left|\cos x\right|=t[/inlmath], pri čemu je [inlmath]t\in\left[0,1\right][/inlmath],
[dispmath]t^2-t\ge0\\
t\left(t-1\right)\ge0\\
t\left(t-1\right)>0\quad\lor\quad t\left(t-1\right)=0[/dispmath]
Zbog toga što [inlmath]t[/inlmath] ne može biti negativno, nejednačina [inlmath]t\left(t-1\right)>0[/inlmath] svodi se na [inlmath]t-1>0[/inlmath]:
[dispmath]t-1>0\quad\lor\quad t=0\quad\lor\quad t-1=0\\
\cancel{t>1}\quad\lor\quad t=0\quad\lor\quad t=1\\
\left|\cos x\right|=0\quad\lor\quad\left|\cos x\right|=1\\
\cos x=0\quad\lor\quad\cos x=-1\quad\lor\quad\cos x=1\\
\enclose{box}{x=\frac{k\pi}{2}}[/dispmath]