MATEMANIJA

Zadatak glasi:



Pošto nisam mogao da jednačinu rešim normalno , pokušao sam da je rešim grafički (kako je inače i dato rešenje u knjizi).

E sad, ja sam ovaj deo [inlmath]\frac{1}{\mathrm{tg}\:2x}[/inlmath]posmatrao kao [inlmath]\mathrm{ctg}\:2x[/inlmath], i kada se ove dve funkcije nacrtaju dobije se devet rešenja (slika 1).

Međutim, tačno je da jednačina ima jedno rešenje, što se i dobija crtanjem [inlmath]\mathrm{arctg}\:2x[/inlmath] umesto [inlmath]\mathrm{ctg}\:2x[/inlmath] (slika 2).

Moje pitanje je zašto se ovde crta [inlmath]\mathrm{arctg}\:2x[/inlmath], a ne [inlmath]\mathrm{ctg}\:2x[/inlmath]? Da li je to neko pravilo za koje ne znam?

Mislim da je nemoguće riješiti jednačinu analitički.Ovakve jednačine se uvijek moraju raditi grafički.Možeš li još malo to da pojasniš kako je tačno da jednačina ima samo jedno rješenje? Gdje to piše ?

Jedino neko logično objašnjenje koje mi pada na pamet bilo bi da jednačina originalno glasi
[dispmath]\cos x=\mathrm{tg}^{-1}2x[/dispmath]
i da si ti ovo [inlmath]\mathrm{tg}^{-1}2x[/inlmath] protumačio kao [inlmath]\frac{1}{\mathrm{tg}\:2x}[/inlmath], a oni kao [inlmath]\mathrm{arctg}\:2x[/inlmath].

I, što je najgore – ako je zaista tako – i ti i oni ste u pravu.

E, upravo zbog ovakvih stvari sam ja, lično, veeeliki protivnik obeležavanja inverznih trigonometrijskih funkcija pomoću ovog [inlmath]-1[/inlmath] u eksponentu, jer to samo zabunu izaziva...

Jednačina je originalno zapisana kako sam je napisao na samom početku.

E, onda ništa ne brini, tačno je tvoje rešenje.

Moguće je da su oni došli do pogrešnog rešenja i tako što su u program za crtanje to [inlmath]\frac{1}{\mathrm{tg}\:2x}[/inlmath] uneli u obliku [inlmath]\mathrm{tg}^{-1}2x[/inlmath], a onda je program za crtanje to [inlmath]\mathrm{tg}^{-1}2x[/inlmath] protumačio kao [inlmath]\mathrm{arctg}\:2x[/inlmath] i, posledično, prikazao im jednu presečnu tačku. Biće da je tako. U svakom slučaju, njihova greška, ne tvoja.

Samo malo bolje prebroj presečne tačke na svom crtežu. Ima ih osam, a ne devet. Označio si i jednu tačku koja nije u preseku. Dakle, osam je tačno rešenje ovog zadataka.

---

@Gamma, moguće je ovu jednačinu rešiti i analitički. Doduše, dobije se kubna jednačina po [inlmath]\sin x[/inlmath], s vrlo ružnim rešenjima. Srećom, u ovom zadatku se i ne traži da se odrede rešenja jednačine, već samo da se odredi njihov broj.

Ja bih ipak da probamo da uradimo zadatak bez crtanja. Analitički može da se reši, kao što je @Daniel i objasnio. No to se i ne traži, traži se samo broj rešenja na datom intervalu. Da vidimo.
Podelimo interval [inlmath][-2\pi,2\pi][/inlmath] na [inlmath]8[/inlmath] podintervala širine [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], počev od intervala [inlmath]\left[-2\pi,-\frac{3\pi}{2}\right)[/inlmath]. Na svakom od tih podintervala funkcija [inlmath]\cos x[/inlmath] je ili monotono opadajuća ili monotono rastuća, neprekidna je i ograničena i odozgo i odozdo, baš svojim vrednostima u krajnjim tačkama. Na svakom od tih podintervala funkcija [inlmath]\mathrm{ctg}\:2x[/inlmath] je monotono opadajuća, neprekidna i opada od [inlmath]+\infty[/inlmath] do [inlmath]-\infty[/inlmath].
Ako je ovo jasno, dalje je sasvim lako: funkcija koja monotono opada od vrednosti [inlmath]+\infty[/inlmath] do vrednosti [inlmath]-\infty[/inlmath] na bilo kom od definisanih podintervala preseca funkciju koja monotono raste ili koja monotono opada i ograničena je i odozdo i odozgo baš svojim konačnim vrednostima u krajnjim tačkama tačno jednom na svakom podintervalu. A gde se to seku – nije ni bitno, to se ne traži. Bitno je da ima [inlmath]8[/inlmath] podintervala, pa samim tim i [inlmath]8[/inlmath] preseka.
Za ovakav način razmišljanja jako je bitna neprekidnost obe funkcije na ovim podintervalima.

Evo i tog analitičkog postupka, mada, kako i @Desideri i ja već rekosmo, to se u zadatku ne traži, već čisto ako nekog bude zanimalo, kad sam već pomenuo...
[dispmath]\cos x=\frac{1}{\mathrm{tg}\:2x}\\
\cos x=\frac{\cos2x}{\sin2x}\\
\cos x=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{2\sin x\cos x}\\
2\sin x\cos^2x=\cos^2x-\sin^2x\\
2\sin x\left(1-\sin^2x\right)=1-\sin^2x-\sin^2x\\
2\sin x-2\sin^3x=1-2\sin^2x[/dispmath]
Smena [inlmath]\sin x=t[/inlmath]
[dispmath]2t-2t^3=1-2t^2\\
2t^3-2t^2-2t+1=0[/dispmath]
I to je ta kubna što daje rogobatna rešenja, od kojih se zatim nađe [inlmath]\arcsin t+2k\pi[/inlmath] i [inlmath]\pi-\arcsin t+2k\pi[/inlmath] kako bi se dobila rešenja po [inlmath]x[/inlmath]...

Moram i ja da se umešam. Veoma je zanimljiva greška koja je napravljena u knjizi. Verujem da će dosta drugih ljudi naići na ovu grešku i možda googlovati problem, pa bi vlajalo da Ilija napiše iz koje knjige je zadatak uzet.
Inače, to je predlog za sve. Uz tekst zadatka napišite i odakle ste ga uzeli (radi boljeg plasmana Matemanije u google pretragama).

Zadatak 13.52.

Zbirka rešenih zadataka iz matematike za pripremu prijemnih ispita na fakultetima, Dobrilo Đ. Tošić, Nina D. Stanković