Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod MarkoL » Subota, 11. April 2015, 21:23

Pomoc :pace:
Ako se zna da je:
[dispmath]\frac{2x+i}{y+i}=\frac{1+i\sin x}{1-i\sin3x}[/dispmath]
tada je kolicnik
[dispmath]\frac{y}{x}=?[/dispmath]
Marko L.
Korisnikov avatar
MarkoL  OFFLINE
 
Postovi: 28
Lokacija: Treviso/Italy
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 7 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Daniel » Subota, 11. April 2015, 23:10

Ovako kako je napisan, zadatak je prilično nerešiv, :) ali srećom, izguglah, i videh da zadatak zapravo i ne glasi tako. :D
Tačno napisan, zadatak glasi
[dispmath]\frac{2x+i}{y+i}=\frac{1+i\sin{\color{red}\alpha}}{1-i\sin3{\color{red}\alpha}}[/dispmath]
Link: http://prijemni.etf.bg.ac.rs/resenja/20 ... matika.pdf
a onda ga je sasvim lako rešiti – unakrsno množenje, grupisanje realnih i kompleksnih delova, izjednačavanje svakog od njih s nulom...

Molim te da ubuduće obratiš pažnju na Pravilnik foruma, posebno na tačku 6.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod MarkoL » Nedelja, 12. April 2015, 09:31

Slabiji sam kod kompleksnih brojeva, nismo ih radili kako treba u srednjoj....evo dokle sam ja stigao:

Unakrsno mnozenje:
[dispmath](y+i)(1+i\sin\alpha)=(2x+i)(1-i\sin3\alpha)[/dispmath]
sa obe strane skratim za [inlmath]i[/inlmath] i dobijem:
[dispmath]y-\sin\alpha+iy\sin\alpha=2x+\sin3\alpha-2ix\sin3\alpha[/dispmath]
Grupisem realne i kompleksne i razvijem
[dispmath]\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]y+4\sin^3\alpha-3\sin\alpha-\sin\alpha-2x=-2ix(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)-iy\sin\alpha[/dispmath]
Na kraju:
[dispmath]y+4\sin^3\alpha-4\sin\alpha-2x=i(8x\sin^3\alpha-6x\sin\alpha-y\sin\alpha)[/dispmath]
Moze pomoc za dalje?? hvala!
Marko L.
Korisnikov avatar
MarkoL  OFFLINE
 
Postovi: 28
Lokacija: Treviso/Italy
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Gamma » Nedelja, 12. April 2015, 12:40

Nemoj rastavljati sinus trostrukog ugla odmah. Rastavi ga tek na kraju samo bez veze komplikuješ stvar. Znaš li kako se rješava kompleksna jednačina? Daniel ti je već rekao izjednačiš realne i imaginarne dijelove.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

  • +1

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Daniel » Nedelja, 12. April 2015, 13:32

Nema veze ni ako si već rastavio sinus trostrukog ugla. Izjednačiš imaginarni deo s nulom (on je jednostavniji od realnog dela):
[dispmath]8x\sin^3\alpha-6x\sin\alpha-y\sin\alpha=0\\
\sin\alpha\left(8x\sin^2\alpha-6x-y\right)=0[/dispmath]
Pošto, prema originalnom tekstu zadatka, [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] ne može biti nula (zbog toga je vrlo bitno da uvek napišeš tačan i kompletan tekst zadatka), jednačina se svodi na
[dispmath]8x\sin^2\alpha-6x-y=0[/dispmath]
Podelimo obe strane sa [inlmath]x[/inlmath],
[dispmath]8\sin^2\alpha-6-\frac{y}{x}=0\\
\frac{y}{x}=8\sin^2\alpha-6[/dispmath]
Pošto su ponuđeni rezultati u kojima figuriše [inlmath]2\alpha[/inlmath], treba [inlmath]\sin^2\alpha[/inlmath] izraziti preko dvostrukog ugla:
[dispmath]\frac{y}{x}=8\cdot\frac{1-\cos2\alpha}{2}-6\\
\enclose{box}{\frac{y}{x}=-2-4\cos2\alpha}[/dispmath]
Do rezultata smo došli isključivo izjednačavanjem imaginarnog dela jednačine s nulom, tako da i nema potrebe posmatrati realni deo jednačine.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Gamma » Nedelja, 12. April 2015, 14:43

Ja kada sam radio zadatak dobio sam i sa lijeve i sa desne strane realnu i imagainarnu komponentu. Pa izjednačin realnu sa realnom i imaginarnu sa imaginarnom. Tako riješim sistem po [inlmath]x,y[/inlmath]. Na kraju podjelim [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]x[/inlmath] i na veoma sličnu foru preko formule za polovičan ugao izrazim krajnji rezultat. Naravno ispalo mi je tačno. Mi uvijek kada smo radili kompleksne jednačine uvijek izjednačavamo realnu sa realnom i imaginarnu sa imaginarnom. Nikada samo imaginarne. Zato mi je to malo i neobično. Koliko ja znam uslov za jednakost kompleksnih brojeva je ista imaginarna i realna komponenta. Znači stvar koja mi nije jasna je kako samo treba izjednačiti imaginarnu komponentu a realnu ne treba.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Daniel » Nedelja, 12. April 2015, 15:16

Da se u zadatku tražilo da se odrede vrednosi [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tada bi bilo potrebno rešavati i drugu jednačinu, koja se dobije izjednačavanjem realnih delova. Ali, pošto se u zadatku ne traže [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], već se samo traži odnos [inlmath]\frac{y}{x}[/inlmath], a taj odnos se može odrediti samo na osnovu imaginarnog dela jednačine, nema nikakve potrebe rešavati realni deo jednačine.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Gamma » Nedelja, 12. April 2015, 16:33

Nisam znao za to. Jer to su stvari koje mnogo olakšaju postupak rješavanja zadatka. Mislim skrate ga dosta.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod MarkoL » Nedelja, 12. April 2015, 17:09

Hvala puno, sad tek vidim da je ostao [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] stvar bi bila mnogo teza ako ne i nemoguca. :D
Marko L.
Korisnikov avatar
MarkoL  OFFLINE
 
Postovi: 28
Lokacija: Treviso/Italy
Zahvalio se: 39 puta
Pohvaljen: 7 puta

Re: Sa prijemnog ETF 2014 – Trigonometrijska jednacina s imaginarnim brojem

Postod Gamma » Nedelja, 12. April 2015, 17:31

Sta [inlmath]\cos x[/inlmath]? Ja [inlmath]\cos x[/inlmath] ne vidim nigdje.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sledeća

Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 39 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 01:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs