MATEMANIJA

Pozdrav, interesuje me kako da sredim ovaj izraz
[dispmath]\cos^4x-\sin^4x[/dispmath]
Resenje zadatka je: [inlmath]\cos 2x[/inlmath].
Ovako sam krenuo:
[dispmath]x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x[/dispmath]
Izraz sam prosirio sa [inlmath]2[/inlmath] kako bih sa desne strane dobio [inlmath]\sin2x[/inlmath]:
[dispmath]2x=2(\cos2x)^2-\sin^22x[/dispmath][dispmath]2x=2\cos^22x-1+\cos^22x[/dispmath][dispmath]2x=3\cos^22x-1[/dispmath][dispmath]2x=2\cos^22x-\sin^22x[/dispmath]
Negde verovatno pravim gresku i nikako ne mogu da dobijem tacan rezultat.

Rastavis kao razliku kvadrata i dobijes ekspresno resenje.

za pocetak ne razumijem sta ti predstavlja ovo [inlmath]x[/inlmath] sa lijeve strane jednakosti... ovaj zadatak je jednostavno rjesiti na sledeci nacin:
[dispmath]\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=1(\cos2x)=\cos2x[/dispmath]

Hvala vam puno. Ma to [inlmath]x[/inlmath] sam samo postavio da bi mi bilo lakse pri prosirivanju izraza.

I nisi mogao nijednu drugu oznaku da nađeš, nego baš tu koja se jedina pojavljuje u izrazu s desne strane...

Evo kada smo već kod zadatka da i ja napišem još jedan način rješavanja. Kao što kažu bolje jedan zadatak na više načina nego više zadataka na jedna način.
[dispmath]\cos^4x-\sin^4x=[/dispmath][dispmath]\left(1-\sin^2x\right)^2-\sin^4x=[/dispmath][dispmath]1-2\sin^2x+\cancel{\sin^4x}-\cancel{\sin^4x}=[/dispmath][dispmath]\sin^2x+\cos^2x-2\sin^2x=[/dispmath][dispmath]\cos^2x-\sin^2x=\cos2x[/dispmath]

Manjak kreativnosti sa moje strane. Najgore je to sto je ovaj zadatak tako jednostavan, a ja sam ga tako zakomplikovao. Hvala i za drugi nacin.

Jeste, jednostavan je. Mada ovaj drugi način je možda za nijasnu komplikovaniji od prvoga. U četiri reda se riješi.

Inače, već u prvom koraku si napravio grešku:

Anonimo je napisao:Ovako sam krenuo:
[dispmath]x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x[/dispmath]

Kada bi sad razvio izraz unutar zagrade, dobio bi
[dispmath]\cos^4x-2\cos^2x\sin^2x+\sin^4x-2\sin^2x\cos^2x=\\
=\cos^4x-4\cos^2x\sin^2x+\sin^4x[/dispmath]
a to ne bi bilo jednako prvobitnom izrazu.

Taj štos bi, eventualno, mogao da primeniš da si i ispred kosinusa i sinusa imao pluseve, tj.
[dispmath]\cos^4x{\color{red}+}\sin^4x=\cos^4x-2\cos^2x\sin^2x+\sin^4x+2\cos^2x\sin^2x=\left(\cos^2x-\sin^2x\right)^2+2\cos^2x\sin^2x=\cdots[/dispmath]
ali ovde nisi smeo zbog minusa ispred [inlmath]\sin^4x[/inlmath].