MATEMANIJA

Treba odrediti broj realnih rešenja jednačine na segmentu [inlmath]\left[-\pi,\pi\right][/inlmath]. Evo kako sam ja rešavala i dobijam [inlmath]5[/inlmath], umesto [inlmath]7[/inlmath]. Gde grešim?
[dispmath](\sin x+\cos x)^2=4\sin x\cos^2x+1[/dispmath][dispmath]\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x-4\sin x\cos^2x-1=0[/dispmath][dispmath]\sin x\cos x(1-2\cos x)=0[/dispmath]
[dispmath]\sin x=0[/dispmath][dispmath]x=0+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=\pi+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]\cos x=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
[dispmath]1-2\cos x=0[/dispmath][dispmath]\cos x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/dispmath]

ti dobijes [inlmath]6[/inlmath] rjesenja, ima jos jedno kod [inlmath]\cos x=0[/inlmath]

Uzmi u rješenja uvrsti i pozitivno i negativno [inlmath]k[/inlmath]. Moraš dobiti [inlmath]7[/inlmath] rješenja. A može se ovo malo i srediti kada pomnožiš sa [inlmath]2[/inlmath] jednačinu i dobićeš sinus dvostrukog ugla.

Stvarno ih je [inlmath]7[/inlmath]:
[dispmath]-\pi,-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3},0,\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2},\pi[/dispmath]

Inače, kad imaš tako jednostavne jednačine tipa [inlmath]\sin x=0[/inlmath] ili [inlmath]\cos x=0[/inlmath], ne moraš raditi tako postupno. Dovoljno je da zamisliš trigonometrijski krug. Ako je [inlmath]\sin x=0[/inlmath], znači, projekcija na sinusnu (vertikalnu) osu biće nula, a to se dešava kada ugao ima vrednosti [inlmath]0,\pi,2\pi,3\pi,\ldots[/inlmath], kao i [inlmath]-\pi,-2\pi,-3\pi\ldots[/inlmath] Odatle odmah zaključuješ da je [inlmath]x=k\pi[/inlmath]. Slično, kada imaš [inlmath]\cos x=0[/inlmath], gledaš za koje vrednosti uglova će projekcija na kosinusnu (horizontalnu) osu biti nula. Jedna vrednost je, naravno, [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], a prvu sledeću vrednost pri kojoj će projekcija na kosinusnu osu biti nula dobićemo kad ugao povećamo ili umanjimo za [inlmath]\pi[/inlmath]. Zatim do sledeće imamo još [inlmath]\pi[/inlmath], pa do sledeće još [inlmath]\pi[/inlmath] itd., što znači da je period [inlmath]k\pi[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x[/inlmath] mora biti [inlmath]\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].

Možda nije loše napomenuti da je pre par godina na prijemnom ispitu (naći ću tačno gde (za koji fakultet) i kada, pa ću postovati) bio jako sličan zadatak, ali sa intervalom: [inlmath](-\pi,\pi][/inlmath]
Potrebno je obratiti pažnju na ovakve sitne trikove. Naime, da je isti zadatak kao u ovoj temi, traženi broj rešenja na ovom intervalu bi bio [inlmath]6[/inlmath].
Sećam se takođe i da je u ponuđenim odgovorima bio i broj [inlmath]7[/inlmath]. Netačan, naravno.

Evo i zadatka koji sam obećao: Klasifikacioni ispit iz matematike za upis na Vojnu akademiju u Beogradu, 2013.

Potrebno je nači broj rešenja sledeće jednačine na intervalu [inlmath](-2\pi,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]1-\cos x-2\sin^2x=0[/dispmath]

ova jednacina se svede na: [inlmath]\cos x+\cos2x=0[/inlmath]

pa su rjesenja: [inlmath]-\pi,0,\pi,2\pi[/inlmath]

Sinisa je napisao:ova jednacina se svede na: [inlmath]\cos x+\cos2x=0[/inlmath]

Ne valja ti ovo. Evo ovako:


Zapravo je:
[dispmath]1-\cos x-2\sin^2x=\cos2x-\cos x=0[/dispmath]
I koliko je rešenja na datom intervalu?

Baš u tome je po mom mišljenju i poenta teme, nabrojati tačan broj rešenja.

[dispmath]\cos2x=\cos x\\
2\cos^2x-1=\cos x\\
(2\cos x+1)(\cos x-1)=0\\
\cos x=-\frac{1}{2}\\
\cos x=1[/dispmath]

Sinisa je napisao:ova jednacina se svede na: [inlmath]\cos x+\cos2x=0[/inlmath]

pa su rjesenja: [inlmath]-\pi,0,\pi,2\pi[/inlmath]

Kad bi se jednačina zaista svela na [inlmath]\cos x+\cos2x=0[/inlmath], rešenja ne bi bila [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2\pi[/inlmath]. Uvek radi provere uvrsti dobijena rešenja u jednačinu i proveri da li je zadovoljena.
[dispmath]\cos0+\cos\left(2\cdot0\right)=\cos0+\cos0=1+1\ne0[/dispmath]
Slično i za [inlmath]x=2\pi[/inlmath].

desideri je napisao:Evo i zadatka koji sam obećao: Klasifikacioni ispit iz matematike za upis na Vojnu akademiju u Beogradu, 2013.

Potrebno je nači broj rešenja sledeće jednačine na intervalu [inlmath](-2\pi,2\pi][/inlmath]:
[dispmath]1-\cos x-2\sin^2x=0[/dispmath]

Koliko ima resenja ova jednacina?

Šest rešenja.

Ja dobijem sedam, od kojih dva ne zadovoljavaju jednakost, te ih ostaje pet: [inlmath]-\frac{4\pi}{3},-\frac{2\pi}{3},0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}[/inlmath].

Pogledaj zagrade, od njih sedam jedno ne zadovoljava a to je [inlmath]-2\pi[/inlmath].

Da, jos i [inlmath]2\pi[/inlmath].

Tako je, samo pazi na ove greške na prijemnom ispitu. Veooma lako se pogriješi čak i kada se uradi sve do kraja.