MATEMANIJA

Moze pomoc oko zadatka
[dispmath]\sin2x-\sin3x=0[/dispmath]

[inlmath]\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/inlmath] iskoristi ovu formulu, dalje je lako

Šta ti tačno nije jasno? Ne znaš da kreneš?
Rastavi sinuse dvostrukog i trostrukog ugla. Dobićeš izraz gdje možeš da izvučeš [inlmath]\sin x[/inlmath] ispred zagrade. Pa onda središ malo izraz u zagradi. I to je to.

@Daksi,
pre svega pozdrav i dobro došao(la) na forum.
Ja sam @desideri, moderator foruma.
Molim te da najpre pročitaš Pravilnik foruma.
Pozdrav još jednom.

Evo kada smo već kod ovog zadatka. Jeste da je mnogo lakše raditi preko transformacije razlike sinusa u proizvod. Ipak je ovaj moj način komplikovaniji. Ali ima par stvari koje me zbunjuju u rješenju treba da stoji kao jedno rješenje
[inlmath]x=k\pi[/inlmath] a preko transformacije se dobije [inlmath]x=2k\pi[/inlmath]
[dispmath]\sin2x-\sin3x=0[/dispmath][dispmath]2\cos\frac{5x}{2}\sin\frac{-x}{2}=0[/dispmath][dispmath]\cos\frac{5x}{2}=0\;\lor\;-\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=2k\pi[/dispmath][dispmath]k\in\mathbb{Z}[/dispmath]

[dispmath]\sin2x-\sin3x=0[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos x-2\sin x\cos^2x-\cos 2x\sin x=0[/dispmath][dispmath]\sin x\left(2\cos x-2\cos^2x-\cos2x\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin x\left(-4\cos^2x+2\cos x+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5-1}{4}\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5+1}{4}[/dispmath][dispmath]x=k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{\sqrt5+1}{4}+2k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{1-\sqrt5}{4}+2k\pi[/dispmath][dispmath]k\in\mathbb{Z}[/dispmath]

uvrstavanjem rjesenja [inlmath]x=k\pi[/inlmath] ne dobije se tacna jednakost...

Jesi li siguran?
Evo vidi šta tehnika kaže.
Uzmi probaj [inlmath]\sin180^\circ-\sin540^\circ=0[/inlmath]

ako je [inlmath]x=k\pi[/inlmath] jednakost je zadovoljena, moja greska...

primjer ti je los, ne zadovoljava uslove zadatka...

Koji primjer ne zadovoljava? Zar nije [inlmath]0-0=0[/inlmath]

to rjesenje je vec uracunato u ova dva, uvrsti [inlmath]k=1[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i uvrsti [inlmath]k=3[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i vidjeces isto tako je i za [inlmath]k=5;7;9\ldots[/inlmath]

[inlmath]0-0=0[/inlmath] je tacna jednakost, ali tvoj primjer ne zadovoljava uslove zadatka, kakvo god [inlmath]x[/inlmath] bilo u konkretnom zadatku -takav slucaj neces dobiti...

Fali dvojka [inlmath]2x[/inlmath] a ne [inlmath]x[/inlmath] mislio sam na [inlmath]360[/inlmath]. Ali ipak je to bio pad koncentracije.

Sinisa je napisao:uvrsti [inlmath]k=1[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i uvrsti [inlmath]k=3[/inlmath] u : [inlmath]x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] i vidjeces isto tako je i za [inlmath]k=5;7;9\ldots[/inlmath]

Ili, malo uopštenije:
– uvrštavanjem [inlmath]k=5n+1[/inlmath] u [inlmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] dobije se [inlmath]x=\left(4n+1\right)\pi[/inlmath]
– uvrštavanjem [inlmath]k=5n+3[/inlmath] u [inlmath]x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}[/inlmath] dobije se [inlmath]x=\left(4n+3\right)\pi[/inlmath]
Ta dva skupa rešenja, kad se objedine, daju skup rešenja [inlmath]x=\left(2n+1\right)\pi[/inlmath], tj. neparne umnoške broja [inlmath]\pi[/inlmath].
I, kad nađemo uniju tog skupa rešenja i skupa rešenja [inlmath]x=2k\pi[/inlmath] (parni umnošci broja [inlmath]\pi[/inlmath]), dobijamo skup svih celobrojnih umnožaka broja [inlmath]\pi[/inlmath], tj. [inlmath]x=k\pi[/inlmath].

---

Što se tiče tvog postupka, @Gamma,

Gamma je napisao:[dispmath]\cos\frac{5x}{2}=0\;\lor\;-\sin\frac{x}{2}=0[/dispmath][dispmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=\frac{3\pi}{5}+\frac{4k\pi}{5}\;\lor\;x=2k\pi[/dispmath]

rešenje jednačine [inlmath]\cos\alpha=0[/inlmath] nema potrebe da pišeš kao [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\lor\;\alpha=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/inlmath], već možeš to odmah objediniti, a i videti s trigonometrijske kružnice, da je [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath]. Eto, mnogo jednostavniji oblik. I kad bi u ovom primeru rešenje napisao na taj način, dobio bi
[dispmath]x=\frac{\pi}{5}+\frac{2k\pi}{5}[/dispmath]
I, kada u to rešenje uvrstiš [inlmath]k=5n+2[/inlmath], dobićeš skup rešenja [inlmath]x=\left(2n+1\right)\pi[/inlmath]...

I, imaš neke greške u postupku:

Gamma je napisao:[dispmath]\sin x\left(-4\cos^2x+2\cos x+1\right)=0[/dispmath][dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=\frac{\color{red}\sqrt5-1}{4}\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5+1}{4}[/dispmath]

Kao rešenja kvadratne jednačine po kosinusu treba da se dobiju [inlmath]\cos x=\frac{1\pm\sqrt5}{4}[/inlmath].

Gamma je napisao:[dispmath]\sin x=0\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5-1}{4}\;\lor\;\cos x=\frac{\sqrt5+1}{4}[/dispmath][dispmath]x=k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{\sqrt5+1}{4}+2k\pi\;\lor\;x=\arccos\frac{1-\sqrt5}{4}+2k\pi[/dispmath]

Ako je [inlmath]\cos x=a[/inlmath], tada [inlmath]x=\arccos a+2k\pi[/inlmath] nije jedini skup rešenja. Nacrtaj trigonometrijsku kružnicu. Drugi skup rešenja će biti [inlmath]x=-\arccos a+2k\pi[/inlmath].

Možda nije loše pogledati i sliku u vezi sa zadatkom: