MATEMANIJA

Broj rešenja jednačine [inlmath]\sqrt{4x^2-4}\cdot\sin2\pi x=\sqrt{x^2-1}[/inlmath] koja zadovoljavaju uslov [inlmath]\left|x\right|\leq2[/inlmath]
[dispmath]\sin2\pi x=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{4x^2-4}}[/dispmath][dispmath]\sin2\pi x=\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{4\left(x^2-1\right)}}[/dispmath][dispmath]\sin2\pi x=\frac{\sqrt{x^2-1}}{2\sqrt{x^2-1}}[/dispmath][dispmath]\sin2\pi x=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]2\pi x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{1}{12}+k[/dispmath][dispmath]2\pi x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/dispmath][dispmath]x=\frac{5}{12}+k[/dispmath]
Uzela sam da je [inlmath]k=0[/inlmath], [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-2[/inlmath] i dobila [inlmath]8[/inlmath] rešenja, a treba [inlmath]6[/inlmath]. Kako?

Potrebno je uzeti u obzir i uslove definisanosti potkorenih veličina iz postavke zadatka.

Nakon eliminisanja rešenja koja ne zadovoljavaju uslov definisanosti korenova, preostaće ti [inlmath]4[/inlmath] rešenja, a treba da ih imaš [inlmath]6[/inlmath].

Ono što si još zaboravila da uradiš, to je da, prilikom prebacivanja [inlmath]\sqrt{4x^2-4}[/inlmath] iz brojioca leve strane u imenilac desne, proveriš da li je on možda, za neke vrednosti [inlmath]x[/inlmath], jednak nuli (nula se ne sme nalaziti u imeniocu).

@Daniel zar ne mislis da su dva resenja koja nedostaju upravo [inlmath]\pm1[/inlmath]? za koja je koren jednak nuli.

Upravo to sam i napisao, ali moguće da nisam bio najjasniji. Dakle, nakon eliminacije ovih rešenja o kojima je Desideri govorio, ostaće samo četiri rešenja, dva rešenja manje nego što treba da se dobije. Preostala dva rešenja se dobiju upravo tako što se prilikom prebacivanja korena na desnu stranu proveri da li je za neke vrednosti [inlmath]x[/inlmath] vrednost tog korena jednaka nuli, a dobiće se upravo da jeste jednaka nuli za [inlmath]x=\pm1[/inlmath]. I to su još te dva rešenja, s kojima ih ima ukupno [inlmath]6[/inlmath], kao što i treba da se dobije.

[dispmath]\eqalign{
& \sqrt{4x^2-4}\cdot\sin2\pi x=\sqrt{x^2-1}\cr
& 2\sqrt{x^2-1}\cdot\sin2\pi x=\sqrt{x^2-1}\cr
& 2\sqrt{x^2-1}\cdot\sin2\pi x-\sqrt{x^2-1}=0\cr
& \sqrt{x^2-1}\left(2\sin2\pi x-1\right)=0\quad\left/\cdot\:{1\over2}\right.\cr
& \sqrt{x^2-1}\left(\sin2\pi x-{1\over2}\right)=0\cr
& x^2-1=0\quad\cup\quad\sin2\pi x={1\over2}\cr
& \ldots\cr}[/dispmath]
Meni se ovako vise svidja

Poznat mi je ovaj zadatak, mislim da ja sa nekoga prijemnog ispita. Zato najbolje je u ovakvim zadacima uvijek izbjegavati dijeljenje. Jer ono zakomplikuje situaciju.