MATEMANIJA

Ako je [inlmath]a=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}[/inlmath] onda je [inlmath]\cos x=?[/inlmath] Resenje je: [inlmath]-\frac{2\cdot\sqrt{a}}{1+a}[/inlmath] Ja sam pokusala ovo da racionalisem i dobila sam:
[dispmath]a=\frac{1-2\cdot\sin x+\sin^2x}{\cos^2x}[/dispmath]
Ako moze pomoc oko toga kako da i ovaj brojilac ceo prebacim u [inlmath]\cos x[/inlmath] ?

unakrsno pomnozis...
[dispmath]a(1+\sin x)=1-\sin x\\
a+a\sin x=1-\sin x\\
a\sin x+\sin x=1-a\\
\sin x(a+1)=1-a\\
\sin x=\frac{1-a}{a+1}\\
\sin^2x=\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2}\\
\cos^2x=1-\sin^2x\\
\cos^2x=1-\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2}[/dispmath]
ovo malo sredis i na kraju korijenujes

Hvala puno na ideji!

A predznak ispred kosinusa?

Moja greska u postavci, kosinus je u drugom kvadrantu, zato je minus

ako je tako, onda smo dobro uradili zadatak

Trebala si to napisati odmah u postavci zadatka. Jer to je stvar koja je dosta bitna!

@Sinisa,
sve ti je uglavnom ok, ali je nepregledno. Zašto kosa crta kada imaš u Latexu \frac{A}{B}?
Ti pišeš u Latexu:
[dispmath]\sin x=(1-a)/(a+1)[/dispmath]
Zar nije bolje, lepše i razumljivije:
[dispmath]\sin x=\frac{1-a}{a+1}[/dispmath]
A za to treba oko tri sekunde tvog vremena pa i manje.

@zlatna ribica,
i tvoja ideja je super:
[dispmath]a=\frac{1-2\cdot\sin x+\sin^2x}{\cos^2x}[/dispmath]
Brojilac koji si dobila je potpun kvadrat, pa je naravno:
[dispmath]a=\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2x}[/dispmath]
I odavde se dobija isti rezultat.
Naravno da je bitno o kom se kvadrantu radi, a kod svakog korenovanja da se ispita šta i kako...
Kvadriranjem se gube informacije da li je plus ili minus, a korenovanje...
Da ne širim dalje temu

desideri je napisao:[dispmath]a=\frac{(1-\sin x)^2}{\cos^2x}[/dispmath]
I odavde se dobija isti rezultat.

Kada smo već kod toga drugoga načina. Ovo s racionalizaciom mi djeluje nekako komplikovanije. Zapravo nije mi jasno kako hoćeš da iz ove jednačine izraziš kosinus preko [inlmath]a[/inlmath]? Brojnik mi nekako smeta.

Gamma, moja greška.
Racionalizacijom se ne dobija ono što je postovala zlatna ribica, već:
[dispmath]a=\frac{\cos^2x}{(1+\sin x)^2}[/dispmath]

Vidio sam odmah da nešto ne štima

Gamma je napisao:Kada smo već kod toga drugoga načina. Ovo s racionalizaciom mi djeluje nekako komplikovanije. Zapravo nije mi jasno kako hoćeš da iz ove jednačine izraziš kosinus preko [inlmath]a[/inlmath]? Brojnik mi nekako smeta.

Može i to, Desideri je to prvobitno i bio objavio, ali ne znam što je uklonio kad je bilo skroz OK. Evo njegove ideje:
[dispmath]a=\frac{1-\sin x}{1+\sin x}\quad\Rightarrow\quad a\left(1+\sin x\right)=1-\sin x\quad\Rightarrow\quad a+a\sin x=1-\sin x\quad\Rightarrow\\
\Rightarrow\quad a\sin x+\sin x=1-a\quad\Rightarrow\quad \sin x\left(a+1\right)=1-a\quad\Rightarrow\quad \sin x=\frac{1-a}{a+1}[/dispmath]
I zatim to uvrstimo u [inlmath]a=\frac{\left(1-\sin x\right)^2}{\cos^2x}[/inlmath]:
[dispmath]a=\frac{\left(1-\sin x\right)^2}{\cos^2x}\\
a=\frac{\left(1-\frac{1-a}{a+1}\right)^2}{\cos^2x}\\
\cos^2x=\frac{\left(1-\frac{1-a}{a+1}\right)^2}{a}=\cdots[/dispmath]

desideri je napisao:Gamma, moja greška.
Racionalizacijom se ne dobija ono što je postovala zlatna ribica, već:
[dispmath]a=\frac{\cos^2x}{(1+\sin x)^2}[/dispmath]

A i to bi se moglo uraditi na isti način, uvrštavanjem [inlmath]\frac{1-a}{a+1}[/inlmath] umesto [inlmath]\sin x[/inlmath]...

Ipak se mora u prvobitnu jednakost vraćati još jednom Ali nema veze neka imamo i taj drugi način. Jeste da je za nijansu nešto komplikovaniji.