MATEMANIJA

Koliko iznosi vrednost trigonometrijskog izraza:
[dispmath]I=\frac{\mathrm{tg}\:10^\circ\cdot\sin80^\circ}{\sqrt3\:\mathrm{tg}\:10^\circ-1}[/dispmath]
Meni se ovaj zadatak učinio zanimljivim.
Rezultat je [inlmath]I=-\frac{1}{4}[/inlmath]
Zadatak je sa prijemnog ispita.

[dispmath]I=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}\cdot\cos10^\circ}{\sqrt3\cdot\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}-1}=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}\cdot\cos10^\circ}{\sqrt3\cdot\frac{\sin10^\circ-\cos10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{-\sqrt3\cdot\left(\frac{\cos10^\circ\cos60^\circ-\sin10^\circ\sin60^\circ}{\sin60^\circ}\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{-2\cos70^\circ}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{-2\sin20^\circ}=\frac{\cancel{\sin10^\circ\cos10^\circ}}{-4{\cancel{\sin10^\circ\cos10^\circ}}}=-\frac{1}{4}[/dispmath]

Ideja je otprilike ta, ali imaš dve greške koje su jedna drugu poništile (eto, i to ume ponekad da se desi).

Ovde nisi smeo da u imeniocu izvučeš [inlmath]\sqrt3[/inlmath], jer on ne figuriše u oba sabirka:

Ilija je napisao:[dispmath]I=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}\cdot\cos10^\circ}{{\color{red}\sqrt3}\cdot\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}-{\color{red}1}}=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}\cdot\cos10^\circ}{{\color{red}\sqrt3}\cdot\frac{\sin10^\circ-\cos10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}}=[/dispmath]

Ovde si umesto [inlmath]\sin60^\circ[/inlmath] greškom napisao [inlmath]\cos60^\circ[/inlmath]:

Ilija je napisao:[dispmath]=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}\cdot\cos10^\circ}{\sqrt3\cdot\frac{\sin10^\circ-\cos10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{-\sqrt3\cdot\left(\frac{\cos10^\circ{\color{red}\cos}60^\circ-\sin10^\circ\sin60^\circ}{\sin60^\circ}\right)}=[/dispmath]

U prva dva koraka nisam ni izvalacio [inlmath]\sqrt3[/inlmath], to sam uradio tek u trecem koraku. U kucanju ga ne stavih uz sinus, ali dobro.

A sto se tice toga da sam umesto [inlmath]\sin60^\circ[/inlmath] greškom napisao [inlmath]\cos60^\circ[/inlmath], nije mi jasno kako tu treba da stoji [inlmath]\sin60^\circ[/inlmath], jer se ovako kako sam ja napisao je adiciona [inlmath]\cos70^\circ=\cos\left(10^\circ+60^\circ\right)=\left(\cos10^\circ\cos60^\circ-\sin10^\circ\sin60^\circ\right)[/inlmath].

Jeste to adiciona formula, ali u ovom slucaju je ne mozes dobiti... ti si dijelio sa sinusom a kasnije nesta pomnozio sa kosinusom a nesta sa sinusom, tim postupkom nisi zadovoljio jednakost

[dispmath]\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}\cdot\cos10^\circ}{\frac{\sqrt3\sin10^\circ-\cos10^\circ}{\cancel{\cos10^\circ}}}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{\sqrt3\left(\sin10^\circ-\frac{\cos10^\circ}{\sqrt3}\right)}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{\sqrt3\left(\sin10^\circ-\frac{\frac{\cos10^\circ}{1}}{\frac{\sin60^\circ}{\cos60^\circ}}\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{\sqrt3\left(\sin10^\circ-\frac{\cos10^\circ\cos60^\circ}{\sin60^\circ}\right)}=\frac{\sin10^\circ\cos10^\circ}{-\sqrt3\cdot\left(\frac{\cos10^\circ\cos60^\circ-\sin10^\circ\sin60^\circ}{\sin60^\circ}\right)}[/dispmath]

Sad je u redu.

Evo i mog (nešto drugačijeg) načina:
[dispmath]I=\frac{\mathrm{tg}\:10^\circ\cdot\sin80^\circ}{\sqrt3\:\mathrm{tg}\:10^\circ-1}=\frac{\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}\cdot\sin80^\circ}{\sqrt3\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}-1}=\frac{\sin10^\circ\cdot\sin80^\circ}{\sqrt3\sin10^\circ-\cos10^\circ}=\frac{\sin10^\circ\cdot\cos10^\circ}{2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin10^\circ-\frac{1}{2}\cos10^\circ\right)}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\frac{1}{2}\cdot2\sin10^\circ\cdot\cos10^\circ}{2\left(\sin10^\circ\cos30^\circ-\cos10^\circ\sin30^\circ\right)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sin20^\circ}{\sin\left(10^\circ-30^\circ\right)}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\cancel{\sin20^\circ}}{-\cancel{\sin20^\circ}}=-\frac{1}{4}[/dispmath]

Daniel je napisao:Sad je u redu.

Uvek je i bilo u redu.

Nego ja reko, ajde da malo skratim postupak, pa verovatno niste razumeli sta sam uradio (sto se tice druge 'greske'). A i onaj koren ne napisah uz sinus, pa je i to malo unelo zabunu.