MATEMANIJA

Pozdrav, ako moze neko da pojasni kako je rijesen ovaj zadatak
[dispmath]\sin x+\cos x=1\quad\left/\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right.\\
\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\\
x=2k\pi\quad\lor\quad x=(4k+1)\cdot\frac{\pi}{2}[/dispmath]
znam da se gore kad se sa [inlmath]\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath] pomnozi zamijeni jednom sa [inlmath]\sin\frac{\pi}{4}[/inlmath], drugi put sa [inlmath]\cos\frac{\pi}{4}[/inlmath], ali ne znam kako je dobijen ovaj drugi red.Naravno ako postoji jednostavnije rijesenje?

Drugi red dobijen je primenom adicione formule:
[dispmath]\cos\left(\alpha\pm\beta\right)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta[/dispmath][dispmath]\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos x\cdot\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\cdot\sin\frac{\pi}{4}[/dispmath]
Mislim da je ovako najjednostavnije.
Preporučujem da se pogleda i ova tema.

Već je rečeno na temi na koju je Desideri linkovao, al' nije na odmet ponoviti, da je moguće i [inlmath]\sin x[/inlmath] napisati kao [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath] (ili [inlmath]\cos x[/inlmath] kao [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], svejedno) pa primeniti formulu za transformaciju zbira u proizvod...

A moguće je primeniti i ovaj postupak, mada se on prevashodno koristi kad imamo različite koeficijente uz sinus i uz kosinus, al' nema veze, funkcioniše i u ovom slučaju.

Pokazao bih još jedan način, preko korišćenja identiteta [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath]. Ovaj identitet obično koristimo onda kad imamo kvadrate sinusa ili kvadrate kosinusa, jer tada jednostavno primenimo [inlmath]\sin^2x=1-\cos^2x[/inlmath] ili [inlmath]\cos^2x=1-\sin^2x[/inlmath], dok ga izbegavamo kad imamo sinus ili kosinus bez kvadrata, jer bismo onda morali pisati [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena, tj. [inlmath]\sin x=\pm\sqrt{1-\cos^2x}[/inlmath] i [inlmath]\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], budući da ne znamo predznak sinusa, odnosno kosinusa.

Međutim, u ovom zadatku možemo vrlo lako, još u startu, odrediti predznak sinusa i predznak kosinusa. Ako bi jedan od njih bio negativan, onaj drugi bi, da bi njihov zbir bio [inlmath]1[/inlmath] i jednačina bila zadovoljena, morao biti veći od jedinice. A pošto znamo da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedinice, na osnovu kontradikcije zaključujemo da ni jedan ni drugi ne mogu biti negativni. Znači, postavljamo početne uslove
[dispmath]\sin x\ge0,\quad\cos x\ge0[/dispmath]
što znači da [inlmath]x[/inlmath] mora biti u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu, uključijući i granice prvog kvadranta, tj.
[dispmath]x\in\left[2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right][/dispmath]
Nakon postavljanja ovih uslova, možemo, jednostavno, [inlmath]\sin x[/inlmath] zameniti sa [inlmath]\sqrt{1-\cos^2x}[/inlmath] (ili [inlmath]\cos x[/inlmath] sa [inlmath]\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], sasvim svejedno) – dakle, s plusom ispred korena.
[dispmath]\sqrt{1-\cos^2x}+\cos x=1[/dispmath]
i dobijamo iracionalnu jednačinu po [inlmath]\cos x[/inlmath], koja se, zahvaljujući prethodno postavljenim uslovima, rešava vrlo jednostavno, bez potrebe za postavljenjem dodatnih uslova, budući da smo sve uslove već postavili:
[dispmath]\sqrt{1-\cos^2x}=1-\cos x[/dispmath]
Zbog [inlmath]\cos x\le1[/inlmath] obe strane su nenegativne, pa ih bez problema možemo kvadrirati,
[dispmath]\cancel1-\cos^2x=\cancel1-2\cos x+\cos^2x[/dispmath][dispmath]\cos^2x-\cos x=0[/dispmath][dispmath]\cos x\left(\cos x-1\right)=0[/dispmath][dispmath]\cos x=0\quad\lor\quad\cos x=1[/dispmath]
što daje rešenja
[dispmath]x=2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad\cancel{x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}[/dispmath]
od kojih ovo potonje otpada, jer ne zadovoljava prethodno postavljen uslov pripadnosti [inlmath]x[/inlmath] intervalu [inlmath]\left[2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right][/inlmath].

Ovakvu formulaciju nigde nisam našao u literaturi kojom raspolažem (internet plus knjige):

Daniel je napisao:Međutim, u ovom zadatku možemo vrlo lako, još u startu, odrediti predznak sinusa i predznak kosinusa. Ako bi jedan od njih bio negativan, onaj drugi bi, da bi njihov zbir bio [inlmath]1[/inlmath] i jednačina bila zadovoljena, morao biti veći od jedinice. A pošto znamo da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedinice, na osnovu kontradikcije zaključujemo da ni jedan ni drugi ne mogu biti negativni.

Da pojasnim, ovo je apsolutno tačno, no ovakva formulacija postoji jedino na Matemaniji.
I da ne bude zabune, da citiram i postavku zadatka:
[dispmath]\sin x+\cos x=1[/dispmath]
Čista logika

[dispmath]\sin^2x+\cos^2x=1\\
\sin x=1-\cos x[/dispmath][dispmath](1-\cos x)^2+\cos^2x=1\\
\vdots[/dispmath]
mozda je ovako jednostavnije, ne trebamo razmisljati o predznaku a dobije se obicna kvadratna jednacina...

desideri je napisao:Ovakvu formulaciju nigde nisam našao u literaturi kojom raspolažem (internet plus knjige)

A što bi morala postojati ta formulacija u literaturi? To nije deo teorije, to je samo situacija koja se tu i tamo pojavi u nekom zadataku (kao npr. ovom).
Može i bez svođenja na kontradikciju. Ako sinus prebacimo na desnu stranu, dobijemo [inlmath]\cos x=1-\sin x[/inlmath], pa pošto je desna strana [inlmath]\ge0[/inlmath], zaključujemo da i leva strana, tj. [inlmath]\cos x[/inlmath], mora biti [inlmath]\ge0[/inlmath]. Na sličan način se uveravamo i u nenegativnost sinusa, ako na desnu stranu prebacimo kosinus.

Ili, kad smo već konstatovali da leva strana jednačine [inlmath]\sin x+\cos x=1[/inlmath] mora biti pozitivna, kao i da [inlmath]x[/inlmath] pripada prvom kvadrantu, možemo jednostavno kvadrirati obe strane:
[dispmath]\sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1\\
\cancel1+\sin2x=\cancel1\\
\sin2x=0\\
2x=k\pi\\
x=\frac{k\pi}{2}[/dispmath]
I zatim, nađemo presek ovih rešenja i uslova s početka postupka, [inlmath]x\in\left[2k\pi,\;\frac{\pi}{2}+2k\pi\right][/inlmath], i dobijemo rešenja
[dispmath]x=2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]

Sinisa je napisao:[dispmath](1-\cos x)^2+\cos^2x=1\\
\vdots[/dispmath]
mozda je ovako jednostavnije, ne trebamo razmisljati o predznaku

Ipak moramo voditi računa o predznaku, jer bi rešenja ove kvadratne jednačine, bez postavljenih uslova, bila [inlmath]\cos x=0\;\lor\;\cos x=1[/inlmath], tj.
[dispmath]x=2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\quad\lor\quad x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/dispmath]
pri čemu ovo poslednje rešenje ne bi bilo tačno, i upravo ono treba da otpadne jer ne zadovoljava uslove...

@Daniel, @Sinisa,
ako slika vredi više od hiljadu reči, onda i reč vredi više od hiljadu formula. Logika je zakon na kome počiva sva matematika.
Zato još jednom citiram, mnogo mi se svidelo:

Daniel je napisao:Međutim, u ovom zadatku možemo vrlo lako, još u startu, odrediti predznak sinusa i predznak kosinusa. Ako bi jedan od njih bio negativan, onaj drugi bi, da bi njihov zbir bio [inlmath]1[/inlmath] i jednačina bila zadovoljena, morao biti veći od jedinice. A pošto znamo da ni sinus ni kosinus ne mogu biti veći od jedinice, na osnovu kontradikcije zaključujemo da ni jedan ni drugi ne mogu biti negativni.

Naravno, da ne ostane nedorečeno:
[dispmath]\sin x+\cos x=1[/dispmath]
Obratite pažnju baš na ovo: "ne mogu biti negativni".
Nula niti je negativna niti pozitivna.
I uopšte zapamtite ovo.
Valjaće vam.

Ja sam odmah zakljucio da [inlmath]x[/inlmath] mora biti u prvom kvadrantu u trecem bi oba bila negativna a u drugom ili cetvrtom [inlmath]\sin[/inlmath] ili [inlmath]\cos[/inlmath] bi morao biti veci od [inlmath]1[/inlmath]...