MATEMANIJA

Dakle ,Broj resenja jednacine [inlmath]\sqrt{4x^2-4}\cdot\sin2\pi x=\sqrt{x^2-1}[/inlmath] , koja zadovoljavaju uslov [inlmath]|x|\le2[/inlmath] je?
sad, da kvadriram i dobijem [inlmath]4x^2-4\cdot(\sin2\pi x)^2=x^2-1[/inlmath] .. bas mi i ne ide, neke ideje?
hvala unapred

prvo odredi def. podrucije a nakon toga izvuci [inlmath]2[/inlmath] ispred prvog korijena i u sledecem koraku sve krati sa tim korijenom... nakon toga ces dobiti osnovnu trig. jednacinu

Hmm zasto dvojku, kada mi se cini da bi trebala jedna cetvorcica
[inlmath]\sin2\pi x=\frac{\sqrt{x^2-1}}{4\cdot\sqrt{x^2-1}}[/inlmath] i onda ako ne gresim
[dispmath]\sin2\pi x=\frac{1}{4}[/dispmath]
dalje ne znam..nezgodno

Korijen proizvoda je jednak proizvodu korijena... mozes izvuci korijen iz [inlmath]4[/inlmath] a to je [inlmath]2[/inlmath]

znaci [inlmath]\sin\pi x=\frac{1}{2}[/inlmath]?

Sinisa je napisao:i u sledecem koraku sve krati sa tim korijenom...

Ovo bi bila greška, jer bismo time zanemarili mogućnost da i koren može biti jednak nuli, čime bi takođe jednačina bila zadovoljena. Samim tim, ne bismo kao rezultat dobili sva moguća rešenja.

Ispravan postupak bi bio:
[dispmath]2\sqrt{x^2-1}\cdot\sin2\pi x=\sqrt{x^2-1}[/dispmath]
(Siniša je već objasnio zbog čega dvojka izlazi ispred korena.)
Sada sve prebacujemo na levu stranu:
[dispmath]2\sqrt{x^2-1}\cdot\sin2\pi x-\sqrt{x^2-1}=0[/dispmath]
pa na levoj strani kao zajednički izvlačimo koren:
[dispmath]\sqrt{x^2-1}\left(2\sin2\pi x-1\right)=0[/dispmath][dispmath]\sqrt{x^2-1}=0\quad\lor\quad2\sin2\pi x-1=0[/dispmath]
Sad je lako da nađeš rešenja, vodeći računa o uslovu definisanosti jednačine, kao i o zadatom uslovu [inlmath]\left|x\right|\le2[/inlmath].

hvala na iscrpnom odgovoru