Pravougli trougao – ideja za jednostavnije rešenje
Poslato: Ponedeljak, 09. Novembar 2015, 16:21Sinoć mi prijatelj pokaza jedan zadatak iz trigonometrije, koji glasi:
Ako je u pravouglom trouglu [inlmath]\text{tg}\:\alpha=\frac{7}{24}[/inlmath], a hipotenuza [inlmath]c=50[/inlmath], odrediti katetu [inlmath]a[/inlmath].
Sad, neki standardni, školski način bio bi prvo uočiti da je [inlmath]\sin\alpha=\frac{a}{c}[/inlmath], a zatim sinus izraziti preko tangensa,
[dispmath]\sin\alpha=\frac{\text{tg}\:\alpha}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/dispmath]
(ne, nisam zaboravio na [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena, nego je ovo pravougli trougao pa je jasno koji mora biti predznak sinusa)
[dispmath]\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{\frac{7}{24}}{\sqrt{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}}=\frac{\frac{7}{\cancel{24}}}{\frac{1}{\cancel{24}}\sqrt{24^2+7^2}}=\frac{7}{\sqrt{576+49}}=\frac{7}{\sqrt{625}}=\frac{7}{25}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{7}{25}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{\cancel{50}_2}=\frac{7}{\cancel{25}}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{a=14}[/dispmath]
Međutim, prijatelj mi je zatim pokazao način na koji je on radio, a koji je mnogo lepši i elegantniji i koji mi se mnogo svideo. Neću vam ga zasad otkrivati, pokušajte i vi.
Ako je u pravouglom trouglu [inlmath]\text{tg}\:\alpha=\frac{7}{24}[/inlmath], a hipotenuza [inlmath]c=50[/inlmath], odrediti katetu [inlmath]a[/inlmath].
Sad, neki standardni, školski način bio bi prvo uočiti da je [inlmath]\sin\alpha=\frac{a}{c}[/inlmath], a zatim sinus izraziti preko tangensa,
[dispmath]\sin\alpha=\frac{\text{tg}\:\alpha}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha}}[/dispmath]
(ne, nisam zaboravio na [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena, nego je ovo pravougli trougao pa je jasno koji mora biti predznak sinusa)
[dispmath]\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{\frac{7}{24}}{\sqrt{1+\left(\frac{7}{24}\right)^2}}=\frac{\frac{7}{\cancel{24}}}{\frac{1}{\cancel{24}}\sqrt{24^2+7^2}}=\frac{7}{\sqrt{576+49}}=\frac{7}{\sqrt{625}}=\frac{7}{25}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{7}{25}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{\cancel{50}_2}=\frac{7}{\cancel{25}}\quad\Rightarrow\quad\enclose{box}{a=14}[/dispmath]
Međutim, prijatelj mi je zatim pokazao način na koji je on radio, a koji je mnogo lepši i elegantniji i koji mi se mnogo svideo. Neću vam ga zasad otkrivati, pokušajte i vi.
Moj prijatelj je radio vrlo slično – prvo je posmatrao trougao s katetama [inlmath]a=7,\;b=24[/inlmath], kod kojeg je [inlmath]\text{tg}\:\alpha[/inlmath] takođe [inlmath]\frac{7}{24}[/inlmath], znači, taj trougao je sličan traženom (uglovi isti, stranice proporcionalne). I sad, pošto je kod ovako dobijenog trougla hipotenuza [inlmath]c=\sqrt{7^2+24^2}=25[/inlmath], a kod traženog trougla je hipotenuza [inlmath]c=50[/inlmath], zaključio je da su kod traženog trougla stranice dvaput veće nego na ovom trouglu, prema tome, kateta [inlmath]a[/inlmath] će biti [inlmath]2\cdot7=14[/inlmath].