MATEMANIJA

Pozdrav svima, moze li pomoc oko ovog zadatka?
[dispmath]\sin3x=\cos2x[/dispmath][dispmath]\sin(2x+x)=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath][dispmath]\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath][dispmath]2\sin x\cos^2x+\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\sin x=\cos^2x-\sin^2x[/dispmath][dispmath]\sin x\left(2\cos^2x+\cos^2x-\sin^2x+\sin x\right)-\cos^2x=0[/dispmath][dispmath]\sin x\left(3\cos^2x-\sin^2x+\sin x\right)-\cos^2x=0[/dispmath][dispmath]\cos^2x=1-\sin^2x[/dispmath][dispmath]\sin x\left(3-3\sin^2x-\sin^2x+\sin x\right)-1+\sin^2x=0[/dispmath][dispmath]\sin x\left(4\sin^2x-2\sin x-3\right)=-1[/dispmath]
Sta dalje?

Pre svega sta se trazi u zadatku ? Ja bih rekao da se trazi interval [inlmath]x[/inlmath] ali ti to nisi naglasio.

Mislio sam da se to podrazumeva, izvini. Da, interval [inlmath]x[/inlmath] se trazi.

[dispmath]\sin3x=\cos2x\\
\sin(2x+x)=\cos^2x-\sin^2x\\
\sin2x\cos x+\cos2x\sin x=1-2\sin^2x\\
2\sin x\cos^2x+\left(\cos^2x-\sin^2x\right)\sin x=1-2\sin^2x\\
2\sin x\left(1-\sin^2x\right)+\left(1-2\sin^2x\right)\sin x=1-2\sin^2x\\
2\sin x-2\sin^3x+\sin x-2\sin^3x=1-2\sin 2x\\
3\sin x-4\sin^3x=1-2\sin^2x\\
-4\sin^3x+2\sin^2x+3\sin x=1[/dispmath]
Ovde dobijas kubnu jednacinu uvedes smenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath], ja jos uvek nisam radio kubnu jednacinu pa ne bih mogao da ti ispisem resavanje. Ali se iz same postavke vidi da ce jedno od tri resenja biti [inlmath]1[/inlmath], tj [inlmath]\sin x=1[/inlmath]. ovo resenje ce biti predstavljeno kao [inlmath]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/inlmath] ostala resenje kad dobijes belezis kao [inlmath]x=\arcsin t+2k\pi[/inlmath], pretpostavljam da nece biti tablicni uglovi.

Zanima me samo, da li je ovo moglo da se resi na sledeci nacin?
[dispmath]\sin3x=\cos2x[/dispmath][dispmath]\sin3x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\sin3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0[/dispmath][dispmath]2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath]
[dispmath]1)\;\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad2)\;\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath]

Dovrsio sam zadatak,moze se malo skockati kubna da resavas lakse [inlmath]\frac{- 4t^3+2t^2+3t-1}{t-1}=-4t^2-2t+1[/inlmath]
Mozda sam napravio negde gresku u racunu
[dispmath]-4\sin^3x+2\sin^2x+3\sin x-1=0\\
-4t^3+2t^2+3t-1=0\\
\Rightarrow\;\left(t-1\right)\left(-4t^2-2t+1\right)=0\\
{\rm I}\\
t_1=1\;\Rightarrow\;\sin x=1\;\Rightarrow\;x_1=\frac{\pi }{2}+2k\pi\\
{\rm II}\\
-4t^2-2t+1\\
D=20\\
t_2=-\frac{1+\sqrt5}{4}\;\Rightarrow\;x_2=\arcsin\left(-\frac{1+\sqrt5}{4}\right)+2k\pi\\
t_3=-\frac{1-\sqrt5}{4}\;\Rightarrow\;x_3=\arcsin\left(-\frac{1-\sqrt5}{4}\right)+2k\pi[/dispmath]
valjda ti nece trebati vrednosti arkusa(ako trebaju onda digitron)

Ilija je napisao:Zanima me samo, da li je ovo moglo da se resi na sledeci nacin?
[dispmath]\sin3x=\cos2x[/dispmath][dispmath]\sin3x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\sin3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0[/dispmath][dispmath]2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath]
[dispmath]1)\;\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad2)\;\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath]

[dispmath]1)\\
\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=0\\
\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=2\pi\\
2)\\
\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{5}\\
\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}=2\pi\;\Rightarrow\;x=\pi[/dispmath]
Ako ja dobro ovo radim, malo je kasno pa vise radim mehanicki, sada kada bi zamenio u pocetnu jednakost neku vrednost
[dispmath]\sin3x=\cos2x\\
\sin3\pi=\cos2\pi\\
0=1[/dispmath]
rekao bih da ne ispada bas tacno ali neka neko proveri jer nisam bas skoncentrisan

Izvinjavam se zbog malo opširnijeg posta, ali nakupilo se nekoliko stvari koje bih želeo da prokomentarišem.

@Ilija, tvoj predlog je odličan i doveo bi do najelegantnijeg rešenja, zbog čega sam ti i dao thanks iako imaš grešku koju sam označio crveno:

Ilija je napisao:[dispmath]\sin3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0[/dispmath][dispmath]2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{\color{red}2}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{\color{red}2}\right)=0[/dispmath]

Naime, treba
[dispmath]2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{\color{red}4}\right)\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{\color{red}4}\right)=0[/dispmath] što će dati rešenja
[dispmath]1)\;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\qquad\qquad2)\;x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/dispmath] Ali, kako je rešenje 1) već sadržano u rešenju 2) (tj. prvo rešenje predstavlja podskup drugog rešenja), dovoljno je kao konačno rešenje napisati samo drugo rešenje:
[dispmath]\enclose{box}{x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}}[/dispmath] Kad uz pomoć kalkulatora to uporedimo s rešenjima do kojih je došao Herien Wolf, zaključujemo da su to ista rešenja:
[inlmath]\frac{\pi}{10}=\arcsin\left(-\frac{1-\sqrt5}{4}\right)[/inlmath]
itd.

---

@Herien Wolf, obrati pažnju kad rešavaš jednačinu preko arkus sinusa:

Herien Wolf je napisao:[dispmath]t_2=-\frac{1+\sqrt5}{4}\;\Rightarrow\;x_2=\arcsin\left(-\frac{1+\sqrt5}{4}\right)+2k\pi\\
t_3=-\frac{1-\sqrt5}{4}\;\Rightarrow\;x_3=\arcsin\left(-\frac{1-\sqrt5}{4}\right)+2k\pi[/dispmath]

Kada je [inlmath]\sin x=a[/inlmath], tada nije dovoljno samo napisati [inlmath]x=\arcsin a+2k\pi[/inlmath]. To je samo jedan skup rešenja. Ali, postoji još jedan skup rešenja, koji glasi [inlmath]x=\pi-\arcsin a+2k\pi[/inlmath] (zašto je to tako, biće ti jasno ako to predstaviš na trigonometrijskoj kružnici). E sad, ovaj drugi skup rešenja može se napisati i kao [inlmath]x=\left(-1\right)^{2k+1}\arcsin a+\left(2k+1\right)\pi[/inlmath]. Kako se prvi skup rešenja, [inlmath]x=\arcsin a+2k\pi[/inlmath], može napisati i kao [inlmath]x=\left(-1\right)^{2k}\arcsin a+2k\pi[/inlmath], to možemo ova dva skupa objediniti i jednostavno zapisati [inlmath]x=\left(-1\right)^k\arcsin a+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}[/inlmath].

Prema tome, potpuna rešenja treba da glase:
[dispmath]t_2=-\frac{1+\sqrt5}{4}\quad\Rightarrow\quad x_2=\left(-1\right)^k\arcsin\left(-\frac{1+\sqrt5}{4}\right)+k\pi\\
t_3=-\frac{1-\sqrt5}{4}\quad\Rightarrow\quad x_3=\left(-1\right)^k\arcsin\left(-\frac{1-\sqrt5}{4}\right)+k\pi[/dispmath]

---

I, još ovo,

Herien Wolf je napisao:

Ilija je napisao:[dispmath]1)\;\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=0\qquad\qquad2)\;\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}\right)=0[/dispmath]

[dispmath]1)\\
\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=0\\
\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}\;\Rightarrow\;x=2\pi\\
2)\\
\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}=0\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{5}\\
\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{2}=2\pi\;\Rightarrow\;x=\pi[/dispmath]

Nikad nemoj zaboraviti da dodaš i [inlmath]2k\pi[/inlmath]. Znači, kad imaš [inlmath]\cos t=0[/inlmath], to onda nije [inlmath]t=\frac{\pi}{2}[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{3\pi}{2}[/inlmath], već je to [inlmath]t=\frac{\pi}{2}{\color{red}+2k\pi}[/inlmath] i [inlmath]t=\frac{3\pi}{2}{\color{red}+2k\pi}[/inlmath]. Ili, kad se zapiše objedinjeno, [inlmath]t=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].
Slično i za ovaj drugi slučaj, [inlmath]\sin t=0\;\Rightarrow\;t=2k\pi\;\lor\;t=\pi+2k\pi\;\Rightarrow\;t=k\pi[/inlmath].

Imam ja obicaj tako da pogresim na gluposti, ali ne zamerite. xD

Veruj mi da nisam ni kontrolisao sta si napisao, samo sam resenja ubacio u pocetnu

Hvala puno, takvo je resenje I u zbirci. Samo, nije mi bas najjasniji ovaj korak
[dispmath]\sin3x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\sin3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0[/dispmath]
I kako na osnovu [inlmath]\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0[/inlmath] se dolazi do resenja?

[dispmath]\cos\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\\
\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0\\
\sin0=0\\
\sin2\pi=0\\
\sin\pi=0[/dispmath]
samo resis jednacine

Evo malo opširnije.

Djordje996 je napisao:Samo, nije mi bas najjasniji ovaj korak
[dispmath]\sin3x-\cos2x=0[/dispmath][dispmath]\sin3x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)=0[/dispmath]

Kosinus bilo kog ugla možemo napisati kao sinus njegovog komplementog ugla (tj. ugla koji ga dopunjuje do pravog ugla). Isto važi i za vezu sinusa i kosinusa:
[dispmath]\cos\alpha=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right),\qquad\sin\alpha=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)[/dispmath] To je veza koja se uči još na samom početku trigonometrije, a uočava se posmatrajući pravougli trougao, u kojem, osim pravog ugla, imaš i dva međusobno komplementna ugla.
U ovom konkretnom slučaju ti je [inlmath]\alpha=2x[/inlmath], tako da je [inlmath]\cos2x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)[/inlmath].
Pogledaj i ovu temu, u njoj su, između ostalog, navedene i sve te međusobne veze trigonometrijskih funkcija.

Djordje996 je napisao:I kako na osnovu [inlmath]\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0[/inlmath] se dolazi do resenja?

Isto kao kad bi rešavao jednačinu [inlmath]\sin\alpha=0[/inlmath]. Uočiš na trigonometrijskoj kružnici za koju vrednost [inlmath]\alpha[/inlmath] će njegov sinus (projekcija na vertikalnu osu) biti nula. Samo što ti je ovde [inlmath]\alpha=\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}[/inlmath].

Hvala vam puno ljudi, pre par dana sam poceo da radim trigonometriju, inace je prvi put ozbiljno radim, dosta mi je sve ovo jos konfuzno, ali sada su neke stvari puno jasnije. Neizmerno hvala jos jednom.

Hajd i da dopunim.
[dispmath]\sin\alpha=0\iff\alpha=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}[/dispmath] (Ovo vidiš sa trigonometrijske kružnice.)

Prema tome,
[dispmath]\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0\iff\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=k\pi\\
\left.\frac{5x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\right/\cdot\frac{2}{5}\\
x=\frac{\pi}{10}+\frac{2k\pi}{5}[/dispmath]