MATEMANIJA

Za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] jednacina
[dispmath]1+\sin^2ax=\cos x[/dispmath]
ima jedinstveno resenje?

Ovo je zadatak sa takmicenja IV godina B kategorija
[dispmath]1+\sin^2ax=\cos x\\
\cos x\in\left(-1,1\right)\\
\sin^2ax\ge0\\
\Rightarrow\;\sin^2ax=0\;\Rightarrow\;\sin ax=0\\
\Rightarrow\;\cos x=1\\
x_1=0\\
x_2=2\pi[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow\;\sin a0=0[/inlmath] vazi za svako [inlmath]a[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\sin a0=0\\
a\cdot0=0[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\sin a2\pi=0\\
a\cdot2\pi=0\;\Rightarrow\;a=0\\
a\cdot2\pi=\pi\;\Rightarrow\;a=\frac{1}{2}\\
a\cdot2\pi=2\pi\;\Rightarrow\;a=1[/dispmath]
Ja verovatno gresim

Herien Wolf je napisao:[dispmath]1+\sin^2ax=\cos x\\
\cos x\in\left(-1,1\right)\\
\sin^2ax\ge0\\
\Rightarrow\;\sin^2ax=0\;\Rightarrow\;\sin ax=0\\
\Rightarrow\;\cos x=1[/dispmath]

Samo da ovaj deo malo pojasnim, zbog drugih. Pošto je [inlmath]\sin^2ax\ge0[/inlmath], odatle je [inlmath]1+\sin^2ax\ge1[/inlmath], tj. leva strana jednačine je [inlmath]\ge1[/inlmath], pa samim tim mora biti i desna, što znači [inlmath]\cos x\ge1[/inlmath]. Pošto kosinus može biti maksimalno [inlmath]1[/inlmath], sledi [inlmath]\cos x=1[/inlmath], a odatle, pošto mora biti [inlmath]1[/inlmath] i leva strana jednačine, [inlmath]\sin ax=0[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:[dispmath]x_1=0\\
x_2=2\pi[/dispmath]

Zbog čega si za [inlmath]\cos x=1[/inlmath] napisao samo ova dva rešenja? Zar nisu rešenja i [inlmath]x=6\pi[/inlmath], [inlmath]x=8\pi[/inlmath], [inlmath]x=-2\pi[/inlmath] itd.?
Za jednačinu [inlmath]\cos x=1[/inlmath] pravilno je kao rešenja napisati [inlmath]x=2k\pi[/inlmath].

Herien Wolf je napisao:[inlmath]\Rightarrow\;\sin a0=0[/inlmath] vazi za svako [inlmath]a[/inlmath]
[dispmath]\Rightarrow\;\sin a0=0\\
a\cdot0=0[/dispmath]

Upravo tako, znači, jednačina sigurno ima najmanje jedno rešenje, bez obzira na vrednost parametra [inlmath]a[/inlmath], a to je rešenje [inlmath]x=0[/inlmath].
E sad, u zatatku se traže one vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje će jednačina imati jedinstveno rešenje. To znači, da pored rešenja [inlmath]x=0[/inlmath], jednačina nema nijedno drugo rešenje.

Znači, za [inlmath]x\ne0[/inlmath] ne sme istovremeno biti [inlmath]\sin ax=0[/inlmath] i [inlmath]\cos x=1[/inlmath]. To, opet, znači da ne sme istovremeno biti [inlmath]ax=k_1\pi[/inlmath] i [inlmath]x=2k_2\pi[/inlmath], gde su [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath] celi brojevi različiti od nule.
Dakle, [inlmath]\frac{k_1}{a}[/inlmath] ne sme biti paran broj ni za jedno [inlmath]k_1[/inlmath].
Pretpostavimo da je [inlmath]a[/inlmath] bilo koji racionalan broj, oblika [inlmath]\frac{p}{q},\;p,q\in\mathbb{Z},\;q\ne0[/inlmath]. Tada će [inlmath]\frac{k_1}{a}[/inlmath] biti jednak [inlmath]\frac{k_1q}{p}[/inlmath], a on će biti paran za svako [inlmath]k_1[/inlmath] koje predstavlja celobrojni umnožak od [inlmath]2p[/inlmath]. Sledi da [inlmath]a[/inlmath] ne sme biti racionalan broj.
Kada je [inlmath]a[/inlmath] iracionalan broj, tada će i [inlmath]\frac{k_1}{a}[/inlmath] biti iracionalan broj, pa samim tim ne može biti paran, čime zaključujemo da [inlmath]a[/inlmath] mora biti iracionalan broj da bi jednačina imala jedinstveno rešenje.

U tekstu zadatka nije navedeno da [inlmath]a[/inlmath] mora biti realno, mada pretpostavljam da se podrazumeva. Ipak, ako je potrebno, lako se može pokazati da ako je [inlmath]a[/inlmath] kompleksan broj s imaginarnim delom različitim od nule, tada jednačina takođe ima jedinstveno rešenje [inlmath]x=0[/inlmath].

Da, nije navedeno da se radi o realnom broju tako da ja cenim da se i imaginarni deo racuna.

Daniel je napisao:Zbog čega si za [inlmath]\cos x=1[/inlmath] napisao samo ova dva rešenja? Zar nisu rešenja i [inlmath]x=6\pi[/inlmath], [inlmath]x=8\pi[/inlmath], [inlmath]x=-2\pi[/inlmath] itd.?
Za jednačinu [inlmath]\cos x=1[/inlmath] pravilno je kao rešenja napisati [inlmath]x=2k\pi[/inlmath].

Nisam pisao [inlmath]+2k\pi[/inlmath] jer se ne trazi [inlmath]x[/inlmath] pa je dovoljno raditi u skupu [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right][/inlmath]. Ako mozes da odredis preko imaginarnog dela posto kao sto rekoh ranije nismo radili trigonometrijski oblik kompleksnog broja.

Iz koje godine je dato takmicenje? Ili jos mozda bolje, da li tekst zadatka glasi tacno ovako kako si napisao? Nekako mi je nezamislivo da nisu tacno sve precizirali u samoj postavci.

Ovogodisnje je takmicenje, veruj mi da ne pamtim kada su ovako lose otkucali zadatke, skoro svi zadaci su dvosmisleni, nigde nisu precizirani intervali, npr imao je jedan zadatak kombinatorike u kom nije navedeno da li je bitan redosled, a bio je jako bitan. Najgore od svega pitam dezurnog profesora kaze cim nije navedeno onda ne zavisi od redosleda.

Ovuaj, necu vise da idem u off topic, ali, je li ovo skolsko takmicenje? Pitam, jer koliko se ja secam takmicenja su obicno krajem januara, pocetkom februara, a ne u decembru. Bar je tako bilo kad sam ja isao u skolu. A ako jeste skolsko, onda donekle i razumem sto ima gresaka, jer mislim (a moguce je i da gresim) da za skolsko upravo sama skola pravi zadatke (mada, onda mi nije jasno zasto stoji kategorija B, al aj sad).

Opstinsko (DMS sastavlja zadatke), vec dve godine je pomereno u decembru, najgore od svega je da smo obavesteni o takmicenju samo dan pred takmicenje.

Bilo je opstinsko takmicenje, evo link http://srb.imomath.com/index.php?options=29&lmm=1

Herien Wolf je napisao:Da, nije navedeno da se radi o realnom broju tako da ja cenim da se i imaginarni deo racuna.

Sudeći po rešenju na linku koji je pentagram142857 dao, oni su definitivno [inlmath]a[/inlmath] posmatrali kao realan broj. I da, zaista su to zaboravili da napišu u tekstu zadatka, što je neshvatljiv propust.

Herien Wolf je napisao:Nisam pisao [inlmath]+2k\pi[/inlmath] jer se ne trazi [inlmath]x[/inlmath] pa je dovoljno raditi u skupu [inlmath]x\in\left[0,2\pi\right][/inlmath].

Kao što i može da se vidi iz mog postupka, nije dovoljno raditi u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath]. Ne traži se [inlmath]x[/inlmath], ali moramo odrediti parametar [inlmath]a[/inlmath] tako da jednačina nema netrivijalna rešenja ne samo u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath], već na celom skupu realnih brojeva.
Uzmi, recimo, da je [inlmath]a=\frac{10}{11}[/inlmath]. Tada će rešenja ove jednačine biti [inlmath]x=22k\pi[/inlmath], dakle, u intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath] ćemo imati samo jedno rešenje ([inlmath]x=0[/inlmath]), ali van tog intervala će ih biti beskonačno mnogo.

Onomatopeja je napisao:Pitam, jer koliko se ja secam takmicenja su obicno krajem januara, pocetkom februara, a ne u decembru. Bar je tako bilo kad sam ja isao u skolu.

Upravo to sam Herien Wolfa i ja pitao putem PP-a.