Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI TRIGONOMETRIJA

Dva zadatka

[inlmath]\sin\left(\alpha+\beta\right)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/inlmath]

Dva zadatka

Postod sevdah baby » Petak, 12. April 2013, 20:33

1. Vrednost proizvoda [inlmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ[/inlmath] je?

2. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] oštri uglovi takvi da je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\text{tg }\beta=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath]. Razlika [inlmath]\alpha-\beta[/inlmath] tih uglova je?
Poslednji put menjao Daniel dana Subota, 13. April 2013, 00:06, izmenjena samo jedanput
Razlog: Zamena slike zadatka odgovarajućim tekstom i Latex-kodom
 
Postovi: 40
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Dva zadatka

Postod Daniel » Subota, 13. April 2013, 00:07

sevdah baby je napisao:1. Vrednost proizvoda [inlmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ[/inlmath] je?

[dispmath]\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ=[/dispmath] Primena trigonometrijske transformacije proizvoda u zbir:
[inlmath]\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\bigl(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr)[/inlmath]
[dispmath]=\sin40^\circ\left(-\frac{1}{2}\right)\bigl(\cos(20^\circ+80^\circ)-\cos(20^\circ-80^\circ)\bigr)=\frac{1}{2}\sin40^\circ\bigl(\cos(-60^\circ)-\cos100^\circ\bigr)=\\
=\frac{1}{2}\sin40^\circ(\cos60^\circ-\cos100^\circ)=\frac{1}{2}\sin40^\circ\left(\frac{1}{2}-\cos100^\circ\right)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{2}\sin40^\circ\cos100^\circ=[/dispmath] Primena trigonometrijske transformacije proizvoda u zbir:
[inlmath]\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr)[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ)\bigr)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\bigl(\sin140^\circ+\sin(-60^\circ)\bigr)=\\
=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}(\sin140^\circ-\sin60^\circ)=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin140^\circ+\frac{1}{4}\sin60^\circ=\\
=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin(180^\circ-40^\circ)+\frac{1}{4}\sin60^\circ=[/dispmath] Primenjujemo osobinu:
[inlmath]\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha[/inlmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\sin40^\circ-\frac{1}{4}\sin40^\circ+\frac{1}{4}\sin60^\circ=\frac{1}{4}\sin60^\circ=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dva zadatka

Postod Daniel » Subota, 13. April 2013, 00:20

sevdah baby je napisao:2. Neka su [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath] oštri uglovi takvi da je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\text{tg }\beta=\frac{1}{\sqrt2}[/inlmath]. Razlika [inlmath]\alpha-\beta[/inlmath] tih uglova je?

U formuli za tangens razlike uglova figurišu izrazi za tangens svakog od ta dva ugla, a tangensi uglova su nam ovde poznati. Prema tome, dovoljno je samo primeniti formulu za tangens razlike uglova:
[dispmath]\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\text{tg }\alpha-\text{tg }\beta}{1+\text{tg }\alpha\text{ tg }\beta}\\
\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}-\frac{1}{\sqrt2}}{1+\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}\cdot\frac{1}{\sqrt2}}[/dispmath] Pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)[/inlmath]:
[dispmath]\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt2\left(\sqrt2+1\right)-\left(\sqrt2-1\right)}{\sqrt2\left(\sqrt2-1\right)+\left(\sqrt2+1\right)}\\
\text{tg }(\alpha-\beta)=\frac{2+\cancel{\sqrt2}-\cancel{\sqrt2}+1}{2-\cancel{\sqrt2}+\cancel{\sqrt2}+1}=\frac{3}{3}=1\\
\alpha-\beta=\text{arctg }1=45^\circ[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dva zadatka

Postod sevdah baby » Nedelja, 14. April 2013, 03:06

Hvala ti puno :D + taj drugi je bio uradjen sa nekim uslovima, pa sam ga zato ovde postavila. Inace ne znam kako da se snadjem na forumu sa tastaturom, pa zato saljem print screen zadataka :D ukljucujuci i ovaj http://i.imgur.com/AeT7ILt.png
 
Postovi: 40
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dva zadatka

Postod Daniel » Nedelja, 14. April 2013, 08:25

Ima o tome uputstvo ovde, sa mnogobrojnim primerima.
Nije ništa teško, neki osnovni princip se nauči za nekoliko minuta, a vrlo je korisno jer doprinosi preglednosti foruma. :)

Što se ovog zadatka tiče, ako se sračuna numerički, dobije se prilično čudna vrednost, [inlmath]\alpha=43,9276476\ldots^\circ[/inlmath]. Nešto nemam utisak da bi se takva vrednost mogla dobiti sređivanjem ovog izraza. Je l' sigurno ispravna postavka zadatka?
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Dva zadatka

Postod sevdah baby » Nedelja, 14. April 2013, 21:25

Druga zagrada u imeniocu je minus a ne plus :D
 
Postovi: 40
Zahvalio se: 6 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Dva zadatka

Postod Daniel » Ponedeljak, 15. April 2013, 07:56

:P Dobro da sam odmah batalio tako postavljen zadatak, inače bih bzvz izgubio ceo dan... :mrgreen:
OK, s tim minusom sada već ima smisla. :mhm:
Dakle, tekst zadatka glasi:

Ako je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in(0,90^\circ)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Zadatak mi se veoma svideo, jer na kraju ima jednu fenomenalnu „caku“... Ali, o tom potom... :)
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/dispmath] To izmnožimo...
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{1+\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}{1-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}[/dispmath] pa primenimo identitet:
[dispmath]\text{tg }(x+y)=\frac{\text{tg }x+\text{tg }y}{1-\text{tg }x\text{ tg }y}\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }x+\text{tg }y=\text{tg }(x+y)(1-\text{tg }x\text{ tg }y)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}\\
\text{tg }\alpha=\frac{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(\text{tg }3^\circ-1)}{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(-\text{tg }3^\circ-1)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\qquad(1)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }45^\circ-\text{tg }3^\circ}{\text{tg }45^\circ+\text{tg }3^\circ}[/dispmath] pa opet primenimo prethodni identitet:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(45^\circ-3^\circ)(1+\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}{\text{tg }(45^\circ+3^\circ)(1-\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }42^\circ(1+\text{tg }3^\circ)}{\text{tg }48^\circ(1-\text{tg }3^\circ)}\\
\text{tg }48^\circ=\text{tg }(90^\circ-42^\circ)=\text{ctg }42^\circ=\frac{1}{\text{tg }42^\circ}\\
\text{tg }\alpha=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\qquad(2)[/dispmath] I, evo sad te zanimljive „cake“ koju spomenuh na početku: :mrgreen:
[dispmath](1),(2)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\\
\left.\left(\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\right)^2=\text{tg}^242^\circ\quad\right/\;\sqrt{\phantom{a}}\\
\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg }42^\circ\qquad(3)\\
(1),(3)\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }\alpha=\text{tg }42^\circ\\
\enclose{box}{\alpha=42^\circ}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Dva zadatka

Postod Frank » Četvrtak, 19. Novembar 2020, 15:29

Daniel je napisao:Ako je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in(0,90^\circ)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha[/inlmath]?

A može i ovako (po meni jednostavnije):
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}={\frac{{\large\frac{\sin1^\circ+\cos1^\circ}{\cos1^\circ}\cdot\frac{\sin2^\circ+\cos2^\circ}{\cos2^\circ}}-2}{{\large\frac{\cos1^\circ-\sin1^\circ}{\cos1^\circ}\cdot\frac{\cos2^\circ-\sin2^\circ}{\cos2^\circ}}-2}}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\sin1^\circ\sin2^\circ+\sin1^\circ\cos2^\circ+\cos1^\circ\sin2^\circ+\cos1^\circ\cos2^\circ-2\cos1^\circ\cos2^\circ}{\cos1^\circ\cos2^\circ-\sin2^\circ\cos1^\circ-\sin1^\circ\cos2^\circ+\sin1^\circ\sin2^\circ-2\cos1^\circ\cos2^\circ}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\sin3^\circ-\cos3^\circ}{-\sin3^\circ-\cos3^\circ}=\frac{\sin87^\circ-\sin3^\circ}{\sin87^\circ+\sin3^\circ}=\frac{\cancel2\cancel{\cos45^\circ}\sin42^\circ}{\cancel2\cancel{\sin45^\circ}\cos42^\circ}\\
\left.\begin{array}{l}
\text{tg }\alpha=\text{tg }42^\circ\\
\alpha\in(0,90^\circ)
\end{array}\right\}\;\Longrightarrow\ \enclose{box}{\alpha=42^\circ}[/dispmath]
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta


Povratak na TRIGONOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs