Dobro da sam odmah batalio tako postavljen zadatak, inače bih bzvz izgubio ceo dan...
OK, s tim minusom sada već ima smisla.
Dakle, tekst zadatka glasi:
Ako je [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/inlmath] i [inlmath]\alpha\in(0,90^\circ)[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha[/inlmath]?
Zadatak mi se veoma svideo, jer na kraju ima jednu fenomenalnu „caku“... Ali, o tom potom...
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{(1+\text{tg }1^\circ)(1+\text{tg }2^\circ)-2}{(1-\text{tg }1^\circ)(1-\text{tg }2^\circ)-2}[/dispmath] To izmnožimo...
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{1+\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}{1-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-2}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }1^\circ+\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }1^\circ-\text{tg }2^\circ+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}[/dispmath] pa primenimo identitet:
[dispmath]\text{tg }(x+y)=\frac{\text{tg }x+\text{tg }y}{1-\text{tg }x\text{ tg }y}\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }x+\text{tg }y=\text{tg }(x+y)(1-\text{tg }x\text{ tg }y)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}{-\text{tg }(1^\circ+2^\circ)(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)+\text{tg }1^\circ\text{tg }2^\circ-1}\\
\text{tg }\alpha=\frac{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(\text{tg }3^\circ-1)}{(1-\text{tg }1^\circ\text{ tg }2^\circ)(-\text{tg }3^\circ-1)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\qquad(1)\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }45^\circ-\text{tg }3^\circ}{\text{tg }45^\circ+\text{tg }3^\circ}[/dispmath] pa opet primenimo prethodni identitet:
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }(45^\circ-3^\circ)(1+\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}{\text{tg }(45^\circ+3^\circ)(1-\text{tg }45^\circ\text{ tg }3^\circ)}\\
\text{tg }\alpha=\frac{\text{tg }42^\circ(1+\text{tg }3^\circ)}{\text{tg }48^\circ(1-\text{tg }3^\circ)}\\
\text{tg }48^\circ=\text{tg }(90^\circ-42^\circ)=\text{ctg }42^\circ=\frac{1}{\text{tg }42^\circ}\\
\text{tg }\alpha=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\qquad(2)[/dispmath] I, evo sad te zanimljive „cake“ koju spomenuh na početku:
[dispmath](1),(2)\quad\Longrightarrow\quad\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg}^242^\circ\frac{1+\text{tg }3^\circ}{1-\text{tg }3^\circ}\\
\left.\left(\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}\right)^2=\text{tg}^242^\circ\quad\right/\;\sqrt{\phantom{a}}\\
\frac{1-\text{tg }3^\circ}{1+\text{tg }3^\circ}=\text{tg }42^\circ\qquad(3)\\
(1),(3)\quad\Longrightarrow\quad\text{tg }\alpha=\text{tg }42^\circ\\
\enclose{box}{\alpha=42^\circ}[/dispmath]